22.Квантовое состояние и его квантование

23.Функция плотности состояний

Носителями заряда (тока) называют электроны зоны проводимости и дырки валентной зоны. В общем случае в полупроводнике могут содержаться примеси как донорного, так и акцепторного типов. В этом случае при T > 0 K⁰ в результате теплового возбуждения электроны будут переходить в зону проводимости переходы (1, 2) и на акцепторные уровни переходы (3).

В результате тепловых переходов 1, 3, образуются носители заряда. Если бы тепловые переходы были единственными, то концентрация носителей заряда непрерывно возрастала бы со временем. С течением времени концентрация электронов была бы  , однако эксперименты дают меньшее значение, это связано с тем, что наряду с тепловым возбуждением одновременно протекает обратный процесс – процесс рекомбинации. Это переходы носителей сверху вниз (переходы 1' – 3'). С течением времени   устанавливается динамическое равновесие между процессами. В этом случае количество переходов в единицу времени снизу вверх равно количеству переходов сверху вниз. Носители заряда образованные в результате теплового возбуждения и соответствующие состоянию динамического равновесия называются равновесными носителями заряда.

В равновесном состоянии температура кристалла одинакова во всех его точках. В адиабатическом приближении считается, что тепловое движение кристаллической решетки влияет на вероятность заполнения носителями заряда состояний в зонах, но не на сами состояния. В полупроводниках, как и металлах, вероятность заполнения электроном энергетического уровня с энергией   определяется функцией распределения Ферми-Дирака:

 (1)

где   - уровень химического потенциала. Эта функция распределения применима только к равновесным носителям заряда, что подчеркивается знаком ₀. Из (1) следует, что при T = 0 K⁰ все уровни с энергией   заполнены электронами  , а при     уровни свободны от электронов. При T > 0 K⁰ “ступенька” в функции распределения размывается и появляется хвост кривой распределения. При любой T > 0 K⁰ вероятность заполнения уровня с энергией   согласно (1) равна ½. Значит, уровень химического потенциала это такой уровень, который с одинаковой вероятностью может быть заполнен электронами и свободен от них.

 (2)

(2) функция распределения Ферми-Дирака для дырок. Известно, что объем первой зоны Бриллюэна равен  . В зоне Бриллюэна число разрешенных волновых векторов N равно числу элементарных ячеек кристалла. Тогда, на одно разрешенное квантовое состояние будет приходиться объем обратного пространства равный:

где V – объем кристалла. В кристаллах единичного объема на одно разрешенное состояние приходится объем обратного пространства равный  . Впредь будем рассматривать кристаллы единичного объема.

Найдем аналогичное выражение для числа состояний в кристаллах единичного объема, которые занимают электроны в интервале энергий от   до  . Для определенности будем рассматривать зону проводимости, дно которой лежит в центре зоны Бриллюэна  ; такую зону имеют кристаллы кубической системы A₂B₆, A₃B₅. Как показано нами, такой экстремум характеризуется одной компонентой эффективной массы, т.е. эффективная масса изотропная величина, изоэнергетическая поверхность такого экстремума – сфера. На поверхности такой сферы лежат концы таких разрешенных волновых векторов, которые одинаковые значения модуля равное  .

Очевидно число состояний, которым соответствуют волновые вектора, модули которых имеют значение от   до  , равно отношению объема шарового слоя толщиной   к объему   пространства, приходящемуся на одно квантовое состояние  :

 (3)

Как известно для сферической изоэнергетической поверхности закон дисперсии имеет параболическую форму:

 (4)

Из (4) следует, что

,  ,

 (5)

Подставим (5) в (3) и получим:

 (6)

(6) определяет собой число квантовых состояний в кристалле единичного объема, которые занимают электроны с энергией в интервале от   до  .

 (7)

(7) – функция плотности состояний для электронов зоны проводимости. Она определяет собой число состояний в кристалле единичного объема приходящегося на единичный интервал энергии вблизи энергии  . Видно, что плотность состояний возрастает с энергией электронов, она выше в кристаллах с большей эффективной массой электронов. Видно, что она не зависит от температуры.

Для дырок валентной зоны функция распределения равна:

 (8)

На рисунке площадь заштрихованного прямоугольника равна:

и численно равна числу электронных состояний в интервале энергий  .

На зависимости функции плотности состояний от эффективной массы основан эффект Бурштейна-Масса. Он состоит в смещении края оптического поглощения в фиолетовую область спектра по мере легирования кристалла мелкими примесями.

Для примера рассмотрим два кристалла, которые имеют одинаковые характеристики, но разные эффективные массы электронов.

По мере легирования будет возрастать число электронов в зоне проводимости, при данных уровнях легирования интервал энергии, которые занимают электроны в зоне проводимости будет больше у первого кристалла  . Из диаграммы видно, что для межзонных оптических переходов, нужна энергия оптических квантов  . Для того, чтобы наблюдать эффект Бурштейна-Масса необходимо выбирать полупроводники с малыми эффективными массами.

У непрямозонных полупроводников: германий, кремний, дно зоны проводимости лежит не в центре зоны Бриллюэна. В общем случае такие экстремумы характеризуются тремя компонентами эффективной массы:  . В этом случае выражение для функции плотности имеет вид:

 (9)

где   - эффективная масса плотности состояний, M – число полных эллипсоидов (долин), M_Si = 6, M_Ge = 4. У Ge экстремум зоны проводимости лежит на границе зоны Бриллюэна в точках L на линии [111]. Так как точки L лежат на границе зоны Бриллюэна, то на нее приходится 8 полудолин, т.е. 4 полных долины.