Свойство аддитивности остаётся верным при любом расположении точек, если только функция интегрируема по самому широкому интервалу.
3)Интеграл
от единичной функции
( f(x)
= 1). Если f(x)
= 1, то
.
4) Если поменять местами верхний и нижний пределы интегрирования, то определённый интеграл изменит знак
13)Теорема об оценке интеграла :
5.1. Если на отрезке [a,b]
функция удовлетворяет неравенству
,
то
.
5.2. Если функция f(x)
интегрируема по отрезку [a,b],
то
.
14) Теорема о среднем значении для определенного интеграла :
Если f(x) непрерывна на
отрезке [a,b], то существует
точка
,
такая что
.
Это свойство имеет простую
геометрическую интерпретацию: если
непрерывна
на отрезке [a,b], то
существует точка
такая,
что площадь криволинейной трапеции
ABCD равна площади прямоугольника
с основанием [a,b] и высотой
f(c).
15) Интеграл с переменным верхним пределом.
Значение определённого интеграла не
зависит от того, какой буквой обозначена
переменная интегрирования:
В этом разделе переменную интегрирования
будем обозначать буквой t, а
буквой x обозначим верхний предел
интегрирования. Будем считать, что
верхний предел интеграла может меняться,
т.е. что x - переменная, в результате
интеграл будет функцией Ф(x)
своего верхнего предела:
.
Легко доказать, что если f(t)
интегрируема, то Ф(x) непрерывна,
но для нас важнее следующая фундаментальная
теорема:
Теорема об интеграле с переменным верхним пределом.
Если функция f(t) непрерывна
в окрестности точки t = x,
то в этой точке функция Ф(x)
дифференцируема, и
.
Другими
словами, производная определённого
интеграла от непрерывной функции по
верхнему пределу равна значению
подынтегральной функции в этом пределе.
16) Формула Ньютона-Лейбница:
Даёт соотношение между операциями взятия определенного интеграла и вычисления первообразной. Формула Ньютона-Лейбница - основная формула интегрального исчисления.
Данная формула верна для любой функции f(x), непрерывной на отрезке [а, b], F - первообразная для f(x). Таким образом, для вычисления определенного интеграла нужно найти какую-либо первообразную F функции f(x) , вычислить ее значения в точках a и b и найти разность F(b) – F(a).
17) Замена переменной в определенном интеграле:
ТЕОРЕМА. Пусть функция φ(t) имеет
непрерывную производную на отрезке
[α,β], а=φ(α), в=φ(β) и функция f(х) непрерывна
в каждой точке х вида х=φ(t), где t
[α,β].
Тогда справедливо следующее равенство:
Эта формула носит название формулы замены переменной в определенном интеграле.
Пример .Вычислить
Воспользуемся заменой переменной
.
Тогда
и
.
Если х=0, то t=1 и, если х=5, то t=4. Выполняя
замену, получим:
18)Интегрирование по частям в определенном интеграле :
Если функции u=u(x) и v=v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [ a , b ], то справедлива формула интегрирования по частям:
Пример :
Для нахождения полученного интеграла положим 1+х=t. Тогда dx=dt, x=t-1 и если х=0, то t=1, если x=1, то t=2. Следовательно,
19)Полярная система координат :
Полярная система координат — двухмерная система координат, в которой каждая точка на плоскости определяется двумя числами — полярным углом и полярным радиусом
Возьмем на плоскости направленную прямую Ох и на ней точку О (рис. 15).
Положение точки М на этой плоскости определяется двумя числами: ее расстоянием r от взятой нами точки О и углом φ, образуемым отрезком ОМ с положительным направлением прямой Ох.
Числа r и φ называются полярными координатами точки М, причем r называется радиус-вектором, φ - полярным углом.
Прямая Ох называется полярной осью, а точка О - полюсом полярной системы координат.
Заметим, что r (как расстояние) - всегда величина положительная, а угол φ может изменяться от 0 до 2π и далее до бесконечности.
Переход от полярных координат к декартовым и наоборот |
Если полюс полярной системы координат находится в начале прямоугольной системы координат, а положительная полуось Ох совпадает с полярной осью, ось же Оу перпендикулярна оси Ох, то 1)
2)
|
,
.
20) Вычисление площади плоской фигуры с помощью определенного интеграла в декартовой, полярной системах координат.
-
Система координат
Площадь фигуры
1
Декартова
3
Полярная
21) . Объем тела вращения:
Укажем общий способ вычисления объемов тел вращения. В частности, вычислим объем шара и его частей.
Пусть криволинейная трапеция, то есть фигура, ограниченная осью Ox, прямыми x = a, x = b и графиком непрерывной возрастающей неотрицательной функции y = f (x), вращается вокруг оси Ox (рис. 7.2.1), вследствие чего образуется тело вращения. Объем части тела вращения, ограниченной сечениями, проведенными через точки a и x, обозначим через V (x), а объем данного тела вращения – через V.
Теорема 7.3.
Объем тела вращения равен
|
Теорема 7.4.
Объем
шара равен
где
R – радиус шара.
Доказательство
В качестве тренировки докажите, что
объем эллипсоида, задаваемого уравнением
определяется
формулой
|
2
22) Длина дуги плоской кривой в декартовых и полярных :
Пусть плоская кривая АВ
задана уравнением у = f ( x), a
≤ x ≤ b, где f ( x) –
непрерывная вместе со своей производной
на отрезке [ а, b] функция. Разобьем
кривую АВ на n произвольных
частей точками А = М0,
М1, М2, … , Mi
- 1, Mi, …, Mn
= B в направлении от А к В.
Соединив эти точки хордами, получим
некоторую вписанную ломанную линию,
длину которой обозначим через Р.
Обозначим через l i
длину одного звена Mi
- 1 Mi ломаной линии, а
через μ — длину наибольшего из ее
звеньев:
.
Определение. Число L называется пределом длин ломаных Р при μ → 0, если для любого как угодно малого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всякой ломаной, у которой μ < δ, выполняется неравенство | L − P | < ε. Если существует конечный предел L длин ломаных Р вписанных в кривую при μ → 0, то этот предел называется длиной дуги АВ:
Если функция f ( x) непрерывна вместе с f ' (x) на отрезке [а, b], то длина дуги АВ выражается формулой
23)Несобственные интегралы :
Определённый интеграл называется несобственным, если выполняется, по крайней мере, одно из следующих условий:
Предел a или b (или оба предела) являются бесконечными;
Функция f(x) имеет одну или несколько точек разрыва внутри отрезка [a, b].
Пусть функция f(x) непрерывна при a ≤ x < +∞. Тогда по определению полагают
(2)
Если предел (2) существует, то несобственный интеграл с бесконечным пределом интегрирования, стоящий в левой части равенства (2), назвается сходящимся и его значение определяется формулой (2); в противном случае равенство (2) теряет смысл, несобственный интеграл, стоящий слева, называется расходящимся и ему не приписывается никакого числового значения.. Пример :
24) Несобственные интегралы от неограниченных функций :
Пусть функция f(x) определена и
неограничена на полуинтервале [а, b), при
этом она ограничена и интегрируема на
любом отрезке [а, с], где а
с
Если существует конечный предел
,
то он называется несобственным интегралом
функции f(x) на отрезке [а, b] и обозначается
Особенность на левом конце промежутка интегрирования. Пусть функция f(x) определена на полуинтервале (a, b], интегрируема по любому отрезку
,
и имеет бесконечный предел при
.
Несобственным интегралом от
f(x) по отрезку [a,
b] называется предел
.
Если этот предел конечен, говорят, что
интеграл сходится; если предел не
существует или бесконечен, говорят, что
интеграл расходится.
Особенность на
правом конце промежутка интегрирования.
Пусть функция f(x) определена
на полуинтервале [a, b),
интегрируема по любому отрезку
,
и имеет бесконечный предел при
.
Несобственным интегралом от
f(x) по отрезку [a,
b] называется предел
.
Если этот предел конечен, говорят, что
интеграл сходится; если предел не
существует или бесконечен, говорят, что
интеграл расходится.
25) Дифференциальные уравнения:
Дифференциа́льное уравне́ние — уравнение, связывающее значение некоторой неизвестной функции в некоторой точке и значение её производных различных порядков в той же точке . Стоит также отметить, что дифференциальное уравнение может вообще не содержать неизвестную функцию, некоторые её производные и свободные переменные, но обязано содержать хотя бы одну из производных.
Виды уравнений :
1) Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) — это уравнения вида
или
,
2) Дифференциальные уравнения
с разделяющимися переменными вида
или
.