3. Основное уравнение лопастных насосов.

Рассмотрим процесс протекания жидкости по каналам рабочего колеса центробежного насоса (рис. 3.3). При этом сделаем два допущения:

1. число лопаток рабочего колеса считается бесконечно большим;

2. жидкость проходит через каналы рабочего колеса в виде одинаковых элементарных струек по одинаковым криволинейным траекториям, которые определяются формой лопаток.

Параллелограммы скоростей на входе и выходе из насоса.

Рисунок 3.3

Движение жидкости является сложным. Каждая частичка жидкости, попадая на лопатку рабочего колеса, участвует одновременно в двух движениях: вращается вместе с колесом с переносной скоростью U₁, равной окружной скорости вращения колеса; перемещается вдоль профиля лопаток с относительной скоростью W₁. Вектор переносной скорости U направлен по касательной к окружности колеса, а вектор относительной скорости W направлен по касательной к профилю лопатки.

Абсолютную скорость V движения жидкости на входе в колесо можно определить из параллелограмма скоростей, используя теорему косинусов:

W₁² = V₁² + U₁² – 2V₁U₁cosα₁ (3.1)

Аналогичное выражение получим из параллелограмма скоростей на выходе жидкости из колеса:

W₂² = V₂² + U₂² – 2V₂U₂cosα₂ (3.2)

где α₁ и α₂ — углы между векторами абсолютной и окружной скоростей.

Составим уравнение Бернулли для двух сечений: сечения 1, находящегося в непосредственной близости перед входом жидкости в колесо, и сечения 2, расположенного после выхода жидкости с рабочего колеса. Пренебрегая потерями напора, получим:

Z₁+P₁/γ+V₁²/2g = Z₂+P₂/γ+V₂²/2g − H_н (3.3)

где Z₁ и Z₂ — координаты центра тяжести сечений 1 и 2; P₁ и P₂— средние давления в этих сечениях ; H_н— энергия, полученная жидкостью от рабочего колеса, равная полному напору, развиваемому насосом.

Запишем уравнение Бернулли для относительного движения жидкости по лопаткам в канале рабочего колеса, добавляя к числу действующих на жидкость массовых сил центробежную силу. Считаем, что работа центробежной силы начинается в сечении 1 после непосредственного поступления частиц жидкости на лопатки и заканчивается в сечении 2 перед сходом с лопаток колеса:

Z₁+P₁/γ+W₁²/2g = Z₂+P₂/γ+W₂²/2g − H_ц, (3.4)

где H_ц —удельная работа центробежной силы, т.е. работа, отнесенная к единице веса протекающей жидкости.

Определим работу центробежной силы P по перемещению частички жидкости массой m на расстоянии dr: центробежная сила P =mω²r; элементарная работа dA = mω²rdr.

Полная работа центробежной силы при перемещении частицы жидкости от входа на колесо с внутренним радиусом r₁ до выхода с его внешней окружности радиусом r₂ определится интегрированием:

(3.5)

Разделив полученное выражение на единицу веса жидкости mg, получим удельную работу центробежной силы, отнесенную к 1 кг:

(3.6)

Подставив уравнение (3.6) в уравнение (3.4), получим

(3.7)

Вычтем из уравнения (3.3) уравнение (3.7):

(3.8)

Заменим в уравнении (3.8) относительные скорости и , подставив их значения из уравнений (3.1) и (3.2). Тогда после преобразования получим уравнение для напора насоса:

(3.9)

Это уравнение было выведено Л. Эйлером в 1755 г., т. е. раньше, чем центробежные насосы появились в производстве; оно называется основным уравнением лопастных машин.

Исходя из условий безударного входа жидкости в колесо, во избежание больших потерь напора при конструировании насосов стремятся к тому, чтобы направление вектора скорости подхода к колесу не отличалось от абсолютной скорости v₁ входа, а угол был равен 90°. Тогда cos =0, а теоретический напор:

(3.10)

Из уравнения (3.10) видно, что для получения максимальных значений напора угол должен быть небольшим. На практике = 8—15°.

Действительный напор насоса будет несколько меньше, чем определяемый по уравнению (3.10), по следующим причинам: из-за гидравлических сопротивлений, встречаемых жидкостью в насосе; из-за неравномерности распределения скоростей в поперечном сечении каждого канала, так как число лопаток ограничено.

Эти потери напора можно учесть, вводя гидравлический коэффициент полезного действия η_г и коэффициент К_z, учитывающий форму и число лопаток: =0,80—0,95, = 0,75—0,85.

Таким образом, действительный напор центробежного насоса:

(3.11)

Анализ уравнения Л. Эйлера (3.11) позволяет сделать следующие выводы:

1. Напор центробежного насоса не зависит от рода жидкости и числа лопаток рабочего колеса.

2. Напор насоса будет тем больше, чем больше окружная скорость на внешней окружности рабочего колеса, пропорциональная его диаметру и частоте вращения.

3. Напор насоса будет увеличиваться по мере уменьшения угла между векторами окружной скорости колеса и абсолютной скорости жидкости на выходе.

Отметим, что основное уравнение Л. Эйлера справедливо не только для лопастных насосов, но и для гидравлических турбин, также представляющих собой лопастные машины, но с обратным процессом. Поэтому применительно к гидравлическим турбинам уравнение Л. Эйлера имеет вид:

(3.12)