Которую называют двойственной к задаче оптимального выпуска продукции из имеющихся ресурсов.

Пример 7.7. Кирпичный завод выпускает кирпичи двух марок (I и II). Для производства кирпича применяется глина трех видов (A, В, С). По месячному плану завод должен выпустить 10 у.е. кирпича марки I и 15 у.е. кирпича марки II. В таблице указаны расход различных видов глины для производства кирпича каждой марки и месячный запас глины:

Марка	Количество глины, необходимой для производства 1 у.е. кирпича вида
	А	В	С
I	1	0	1
II	0	2	2
Запас глины	15	36	47

Сколько у.е. кирпича различных марок должен выпустить завод сверх плана, чтобы обеспечить наибольшую прибыль, если известно, что от реализации 1 у.е. кирпича марки I завод получит прибыль, равную 4 у.е., а от реализации кирпича марки II – 7 у.е.?

Путем графического анализа данной задачи найти решение двойственной к ней и оценить дефицитность исходных ресурсов.

Решение. Составим математическую модель задачи. Обозначим через х₁ – количество единиц кирпича марки I, выпущенных сверх плана, а х₂ – марки II. Тогда выпуск кирпича марки I составляет (10+х₁) единиц, марки II – (15+х₂) единиц, а прибыль, получаемая от реализации продукции, составит

Цель – максимизировать прибыль, следовательно,

На выпуск продукции будет израсходовано соответственно:

Учитывая запасы глины различных видов на заводе, получаем ограничения:

Из условия задачи следует, что

Итак, математическая модель исходной (прямой) задачи имеет вид:

при ограничениях:

Очевидно, что данная задача может быть решена геометрически (две переменные х₁ и х₂). Решая задачу графически, нетрудно убедиться, что оптимальным планом этой задачи является:

Итак, чтобы получить максимальную прибыль, завод должен выпустить сверх плана 5 у.е. кирпича марки I и 1 у.е. кирпича марки II.

Составим математическую модель двойственной задачи. Поставим в соответствие трем ограничениям-неравенствам прямой задачи переменные:

Тогда математическая модель двойственной задачи примет вид:

при ограничениях:

Согласно первой теореме двойственности

Далее, используя вторую теорему двойственности, найдем оптимальный план Y^*=(у₁^*, у₂^*, у₃^*) двойственной задачи, в котором у₁^*, у₂^*, у₃^*являются оптимальными оценками ресурсов (глина

видов А, В и С). Так как х₁^*=5>0, то согласно второй теореме, ограничение в двойственной задаче ее оптимальным планом должно обратиться в равенство, т.е. Аналогично из того, что , следует у₂^*+2у₃^*=7. Итак, имеем систему уравнений:

Кроме того, в оптимальном плане первое и третье ограничения прямой задачи выполняются как равенства (5=5; 5+2·1=7). Это означает, что глина видов А и С используется полностью, являясь дефицитной. Дальнейшее увеличение запасов глины видов А и С целесообразно. Если же ресурс расходуется не полностью, то он избыточен, его дальнейший рост не повлияет на эффективность работы завода. Таким ресурсом является глина вида В. Действительно, так как второе ограничение в оптимальном плане выполняется как строгое неравенство 1 < 3, то глина вида В избыточна, и согласно второй теореме двойственности ее оценка равна нулю (у₂^*=0).

Из системы находим

.

Получим

Тогда

,

что совпадает с экстремальным значением функции W, уже найденным с помощью первой теоремы двойственности.

Кроме того, замечаем, что глина вида С является более дефицитной, чем глина вида А, так как