4.Непрерывность функции в точке и на интервале.

Функция f(x) наз-ся непрерывной в точке х₀ если она удовлетворяет следующим трём условиям:

1. Определена в точке х₀ (т.е. существует f(x₀))

2. Имеет конечный предел ф-ии при х х₀

3. Этот предел равен значению ф-ии в этой точке,т.е.

Функция f(x) называется непрерывной на интервале (отрезке), если она непрерывна в любой точке интервала (отрезка).

5.Производная и дифференциал.

Производной ф-ии y=f(x) наз-ся предел отношения приращения ф-ии у к приращению аргумента х при стремлении х к нулю

Если ф-ия в точке х₀ имеет конечную производную, то ф-ия наз-ся дифференцируемой в этой точке.

Производная ф-ии y=f(x) в точке х₀ яв-ся значением ф-ии f`(х) в точке х₀

Ф-ия дифференцируемая во всех точках промежутка Х, наз-ся дифференцируемой на этом промежутке

Дифференциалом ф-ии наз-ся главная линейная относительно часть приращения ф-ии, равная произведению производной на приращение независимой переменной: dy =f`(x) x

6. Основные теоремы о дифференцируемых функциях

Теорема Ферма. Если дифференцируемая на промежутке функция у=f(x) достигает наиб. Или наим. Значения во внутренней точке х₀ этого промежутка, то производная функции в этой точке=0, т.е. f`(x₀)=0.

Теоремя Ролля. Пусть функция y=f(x) удовлетворяет: непрерывна на [a;b], дифференцируема на [a;b]; на концах отрезка принимает равные значения; Тогда внутри отрезка существует по крайней мере 1 такая точка, принадлежащая (a;b), в которой производная=о.

Теорема Лагранжа. Пусть функция y=f(x) удовлетворяет: непрерывна на [a;b], дифференцируема на [a;b];Тогда внутри отрезка существует по крайней мере 1 такая точка принадлежащая (a;b), в которой производная=частному от деления приращения функции к приращению аргумента на этом отрезке: f`c=

7.Функции нескольких переменных и их непрерывность.

Пусть имеется n переменных величин и каждому набору их значений (х¹, х²,хⁿ) из некоторого множ-ва Х соответствует одно вполне определённое знач-ие переменной величины z.

Тогда говорят что задана ф-ия нескольких переменных z=f(х¹, х²,хⁿ)

Теорема 1. Сумма непрерывных функций есть функция непрерывная.  Свойство. Сумма конечного числа непрерывных функций есть функция непрерывная. 

Теорема 2. Произведение непрерывных функций есть функция непрерывная.  Свойство. Произведение конечного числа непрерывных функций есть функция непрерывная.  Теорема 3. Частное от деления непрерывных функций есть функция непрерывная – за исключением точек, в которых знаменатель обращается в нуль.  Теорема 4. Любая элементарная функция непрерывна в области своего определения.  Теорема 5. Пусть функция     непрерывна на промежутке [a,b] и принимает на его концах значения разных знаков. Тогда на этом промежутке существует такая точка  c, в которой  

8. Производные функции нескольких переменных

Дадим аргументу х приращение х, аргументу у приращение у. Тогда ф-ия z=f(x;y) получит наращенное значение f(x+ , y+ )

Величина = f(x+ , y+ )-f(x;y) наз-ся полным приращением ф-ии в точке (x;y)

Если задать только приращение аргумента х или только приращение аргумента у, то полученные приращения ф-ии, соответственно _хz= f(x+ ;y) – f(x;y) и _yz=f(x,y+ )-f(x,y) наз-ся частными.

Ф-ия z =f(x;y) наз-ся непрерывной в точке М₀ (х_0,у₀) если она определенна в этой точке и некоторой её окрестности

Частной производной ф-ии нескольких переменных по одной из этих переменных наз-ся предел отношения соответствующего частного приращения ф-ии к приращению рассматриваемой независимой переменной при стремлении последнего к нулю( если этот предел существует),