Геометрический смысл двойного интеграла [править]

Пусть функция f(x,y) принимает в области D только положительные значения. Тогда двойной интеграл  численно равен объему V вертикального цилиндрического тела, построенного на основании D и ограниченного сверху соответствующим куском поверхности  .

Выражение двойного интеграла через полярные координаты [править]

Переход из прямоугольных координат в полярные.

Переход из прямоугольных координат в полярные.

В некоторых случаях двойной интеграл проще считать не в прямоугольных, а в полярных координатах, так как при этом может произойти существенное упрощение вида области интегрирования и всего процесса интегрирования в целом.

Применим теорему о замене переменных. Соответствующее переходу преобразование имеет вид:

Модуль якобиана отображения равен  . Таким образом получаем, что

.

Здесь   является элементом площади в полярных координатах.

25) Тройные интегралы имеют те же свойства, что и двойные интегралы (линейность, аддитивность, формулы среднего значения и т.д.)

I. Вычисление тройных интегралов с помощью повторного интегрирования.

1. Предположим, что функция f(x, y, z) непрерывна в рассматриваемой области T.

Пусть сначала T = [a, b; c, d; e, f] - прямоугольный параллелепипед, проектирующийся на плоскость yz в прямоугольник R = [c, d; e, f]. Тогда

Заменяя в (1) двойной интеграл повторным, получим

Вычисление тройного интеграла сводится к последовательному вычислению трёх определённых интегралов.

Если первые два интеграла в (2) объединить в двойной, то будем иметь

где P = [a, b; c, d] - проекция параллелепипеда T на плоскость xy.

Заметим, что в этих случаях можно менять роли переменных.

2. Пусть область T заключена между плоскостями x = a и x = b, причём каждое сечение области T плоскостью  представляет собой квадрируемую фигуру G(x)(рис. 1). Тогда

3. Пусть теперь тело T представляет собой "цилиндрический брус", ограниченный снизу и сверху, соответственно, поверхностями z = z₁(x, y) и z = z₂(x, y), проектирующиеся на плоскость xy в некоторую квадрируемую фигуру G (рис.2), z₁(x, y) и z₂(x, y) - непрерывны в G. Тогда

Если G = {(x, y): a  x  b, y1(x)  y  y2(x)}, то

Отметим, что наряду с указанными формулами имеют место и им подобные, получающиеся перестановкой переменных x, y и z.

II. Замена переменных в тройном интеграле  состоит в переходе от переменных x, y, z к новым переменным u, v, w по формулам

Если выполняются условия

26) Цилиндрические координаты представляют соединение полярных координат в плоскости xy с обычной декартовой аппликатой z (рис. 3).

Пусть M(x, y, z) - произвольная точка в пространстве xyz, P - проекция точки M на плоскость xy. Точка M однозначно определяется тройкой чисел  - полярные координаты точки P, z - аппликата точки M. Формулы, связывающие их с декартовыми, имеют вид

Якобиан отображения (8) 

2. Сферические координаты. Пусть M(x, y) - произвольная точка в пространстве xyz, P - проекция точки M на плоскость xy. Точка M однозначно задаётся тройкой чисел  , где r - расстояние точки M до точки 0,  - угол между лучами OM и OZ,  - полярный угол точки P на плоскости xy. Тройка чисел  называется сферическими координатами точки M.

Они связаны с прямоугольными формулами

Якобиан отображения  . Иногда используются обобщённые сферические координаты.

Объём V кубируемой области T (кубического тела) в пространстве xyz выражается формулой

Переходя в этом равенстве к новым переменным по формулам (6), получим выражение объёма области T в криволинейных координатах

Пусть T - материальное тело (кубируемая область) с плотностью 

Тогда

- масса тела.

Пример1. Вычислить объём тела, ограниченного поверхностями: x² + y² + z² = a², x² + y² - ax = 0. (рис. 5)

Решение. Рассмотрим одну четвёртую часть тела, лежащёю в первом октанте. Часть поверхности  вырезанная цилиндром, проектируется в область  . Тогда

Перейдём в интеграле к цилиндрическим координатам по формулам (8). При этом уравнение окружности x? + y? - ax = 0 преобразуется в кривую  а уравнение поверхности  - к виду 

Таким образом

Пример 2. Вычислить интеграл

где T - область, ограниченная поверхностями 

Решение. Перейдём в интеграле к сферическим координатам по формулам (9). Тогда область интегрирования можно задать неравенствами

А, значит,

27) Криволинейный интеграл — интеграл, вычисляемый вдоль какой-либо кривой на плоскости или в пространстве. Утверждения в этой статье приведены для пространства  , но могут быть обобщены на пространство произвольной размерности.

Определения

Пусть l — гладкая, без особых точек и самопересечений кривая (допускается одно самопересечение — случай замкнутой кривой), заданная параметрически.

   — (отрезок параметризации) — рассматриваем часть кривой.

Пусть   — разбиение отрезка параметризации  , причем  .

Зададим разбиение кривой  .

За   обозначим часть кривой от точки   до точки  ,  .

Введем мелкость разбиения отрезка параметризации  :  .

Введем набор промежуточных точек разбиения отрезка параметризации l:  .

Зададим набор промежуточных точек разбиения кривой  .

Пусть нам также даны 4 функции, которые определены вдоль кривой l:  ,  ,  ,  .

Рассмотрим 4 интегральные суммы.

1. Интегральная сумма криволинейного интеграла первого рода:

.

1. Три интегральных суммы криволинейного интеграла второго рода:

,

,

.

Если  , то говорят, что функция f интегрируема в смысле криволинейного интеграла первого рода по кривой l, а сам предел называют криволинейным интегралом первого рода функции f по кривой l и обозначают  . Здесь dl — дифференциал кривой.

Если  ,  ,  , то говорят, что функции P, Q и R интегрируемы в смысле криволинейного интеграла второго рода по кривой l, а сами пределы называют криволинейными интегралами второго рода функций P, Q и R по кривой l и обозначают

Сумму криволинейных интегралов второго рода функций P, Q и R также называют криволинейным интегралом второго рода вектор-функции   и обозначают:

.

Если кривая L замкнута (начало совпадает с концом), то в этом случае вместо значка   принято писать  .

Свойства

1. Линейность:

2. Аддитивность: если   в одной точке, то

3. Монотонность: если   на  , то

4. Теорема о среднем для непрерывной вдоль L функции f:

Очевидно, что:  .

5. Изменение направления обхода кривой интегрирования не влияет на знак интеграла:  .

6. Криволинейный интеграл первого рода не зависит от параметризации кривой.

Вычисление

Пусть l — гладкая, спрямляемая кривая, заданная параметрически (как в определении). Пусть функция   определена и интегрируема вдоль кривой l в смысле криволинейного интеграла первого рода. Тогда

.

Здесь точкой обозначена производная по t:  .

28)Поверхностный интеграл второго рода[править]

Определение[править]

Рассмотрим двустороннюю поверхность Ф, гладкую или кусочно-гладкую, и фиксируем какую-либо из двух ее сторон, что равносильно выбору на поверхности определенной ориентации.

Для определенности предположим сначала, что поверхность задана явным уравнением   причем точка   изменяется в области   на плоскости  , ограниченный кусочно-гладким контуром.

Пусть теперь в точках данной поверхности   определена некоторая функция  . Разбив поверхность сетью кусочно-гладких кривых на части   и выбрав на каждой такой части точку   вычисляем значение функции   в данной точке и умножим его на площадь   проекции на плоскость x  y элемента  , снабженную определенным знаком. Составим интегральную сумму:

.

Конечный предел этой интегральной суммы при стремлении диаметров всех частей к нулю называют поверхностным интегралом второго рода от

,

распространенным на выбранную сторону поверхности Ф, и обозначают символом

(здесь dx dy) напоминает о площади проекции элемента поверхности на плоскость xy

Если вместо плоскости xy спроектировать элементы поверхности на плоскость yz или zx, то получим два других поверхностных интеграла второго типа:

 или  .

В приложениях чаще всего встречаются соединения интегралов всех этих видов:

где P,Q,R, суть функции от  , определенные в точках поверхности  .