Елементи циліндра

Круги що утворюють циліндр називаються основами циліндра. Вони рівні і лежать у паралельних площинах.

Твірні циліндра — відрізки, що сполучають відповідні точки кіл кругів. Вони паралельні і рівні. До математичних курйозів можна віднести визначення будь-якої кінцевої тривимірної поверхні без самоперетинань як циліндр нульової висоти (дану поверхню вважають одночасно обома основами кінцевого циліндра).

Поверхня циліндра складається з основ і бічної поверхні.

Бічна поверхня складається з твірних.

Радіусом циліндра називається радіус його основи.

Висотою циліндра називається відстань між площинами основ.

Віссю циліндра називається пряма, яка проходить через центри основ. Вона паралельна твірним.

Осьовий переріз — переріз циліндра площиною, яка проходить через вісь циліндра.

Дотична до циліндра — площина, яка проходить через твірну прямого циліндра і перпендикулярна до осьового перерізу, проведеного через цю твірну, називається площиною.

Циліндр називається прямим, якщо його твірні перпендикулярні до площин основ. Прямий циліндр можна розглядати як тіло, утворене обертанням прямокутника навколо його сторони як осі.

П лоща поверхні

Площа бічної поверхні

Площа бічної поверхні тіл обертання обчислюється за їхньою розгорткою. Розгортка циліндра являє собою прямокутник з висотою і довжиною , отже площа бічної поверхні циліндра дорівнює площі його розгортки та обчислюється за формулою:

Площа загальна

Площа повної поверхні циліндра дорівнює сумі площ його бічної поверхні та його основ:

Об'єм

Візьмемо плоску фігуру, утворену такими прямими: y = R, x = 0, x = h, y = 0 та будемо обертати її навколо осі Ox. Таким чином ми отримуємо тіло обертання, утворене обертанням прямокутника навколо однієї з його сторін, тобто циліндр.

,

кінцева формула:

Де d — діаметр основи; R — радіус основи.

3.Основні співвідношення між тригонометричними функціями одного і того ж аргументу.

§ 8. Співвідношення між тригонометричними функціями одного і того самого аргументу.

Під час вивчення тригонометричних функцій гострого кута у 8-му класі за теоремою Піфагора було доведено основну тригонометричну тотожність

sin² + cos² = 1.          (1)

Вона виконується для тригонометричних функцій будь-якого кута і тригонометричних функцій довільного числового аргументу. Доведемо це. Якщо косинус числа α — це абсциса точки Р_ одиничного кола, а синус числа  — ордината цієї точки, тобто х=cos, у=sin, то точка Р_α(х;у) віддалена від центра кола на відстань, що дорівнює 1. Відомо, що відстань точки від початку координат визначається за формулою х² + у²= r². Оскільки r = 1, то  х² + у²= 1, тобто sin² + cos² = 1.

Означивши тангенс і котангенс через синус і косинус, ми ввели ще два незалежних співвідношення:

З тотожностей (1 )—(3) як наслідок випливають ще кілька співвідношень, які часто використовують при обчисленні значень тригонометричних функцій через дане значення однієї з них та в інших задачах.

Перемноживши почленно рівності (2) і (3), дістанемо

tg · ctg = 1,

звідки

 

Поділивши почленно рівність (1) на cos²дістанемо

звідки

 

Поділивши почленно рівність (1) на sin²дістанемо

звідки

Тотожність (1) виконується для будь-якого значення аргументу, тотожності (2) і (3) — для всіх значень, крім тих, для яких cos=0 і sin=0.

Наведемо приклади застосування основних тригонометричних тотожностей для обчислення значень тригонометричних функцій за відомим значенням однієї з них. Вони ілюструють можливість спрощення обчислення значень тригонометричних виразів і показують шляхи доведення інших тригонометричних тотожностей.

                                                                                                                                                    Таблиця 3

Функція	sin	cos	tg	ctg
sin
cos
tg
ctg

Приклад 1. Знайти значення всіх тригонометричних функцій аргументу , якщо tg = 3/4 і  <  < 3.

Ρ о з в' я з а н н я. У III чверті, де на одиничному колі розміщено точки, які відповідають числу , тангенс і котангенс додатні, а синус і косинус від'ємні.

_{За тотожністю (6) знаходимо , , .}

_{За тотожністю (1) маємо: ,}   

За тотожністю (4)          

 У таблиці 3 подано формули, які пов'язують тригонометричні функції одного й того самого аргументу. У наведених формулах перед знаком радикала треба поставити знак « плюс» або « мінус» залежно від того, в якій чверті лежить кут , і саме так, щоб знак тригонометричної функції, який стоїть у лівій частині, збігався із знаком величини, що стоїть у правій частині рівності.

Приклад 2. Спростити вираз:

_{; ;}

3) 1 - sinctgcos; 4) (1 + cos)tg²l - cos);

7) sin² sin²β - cos²β - cos²;

8) sin⁴ — cos⁴  + 2 cos².

Розв'язання.

;

2)  l + sin² - cos² = (1-cos²) + sin² = sin²+sin² = 2 sin² .

3)  1-sinctgcos = 1 - sin cos= 1- cos² =sin²;

4)(1+cos) tg²(l -cos) = (1 -cos²)tg² =  sin² tg²;

_;

;

7) sin² - sin²β - cos²β - cos² = sin² - cos² - (sin²β + cos²β) = sin² - cos² - 1 = -2cos²

8) sin⁴ - cos⁴+ 2cos²= (sin² + cos²)(sin² - cos²) + 2 cos²= 1 - cos² - cos² + 2cos² = 1.

Приклад 3. Дано sin + cos = m. Знайти sincos.

Розв'язання. Піднесемо обидві частини даної рівності до квадрата. Маємо (sin + cos)² = m², або

sin² + 2sincos + cos² = m².

Звідси 1+2sinαcosα = m², отже, sinαcosα = _;

_{Приклад 4.Обчислити ,  якщо tg=}⁵_/2.

Розв'язання. Даний вираз слід спочатку виразити через tg а потім обчислити його значення. Для цього поділимо чисельник і знаменник даного дробу на cos² :

_{Якщо tg=5/2, то}

_{Приклад 5. Довести, що вираз не залежить від , тобто є величиною сталою.}

_{Розв'язання}.

_{Приклад 6. Довести тотожність , якщо 0<}

Розв'язання. Доведення тригонометричних тотожностей можна здійснювати різними способами:

1) за допомогою тотожних перетворень слід показати, що одну частину рівності (ліву чи праву) можна подати у вигляді другої;

2) кожну частину рівності звести до одного і того самого виразу:

3) скласти різницю лівої і правої частин рівностей і за допомогою тотожних перетворень показати, що ця різниця дорівнює 0.

Дану  тотожність  доведемо,   користуючись   першим способом:

оскільки синус і косинус, якщо 0<<π/2, додатні, 1- cos  0, тому |sin| = sin, |1+ cos|=1+cos, |1-cos|=1-cos  (косинус за модулем не перевищує 1).

Співвідношення між тригонометричними функціями одного й того самого аргументу

Тут і далі запис kΖ означає, що k - будь-яке ціле число.

sin²α + cos²α = 1

tgα = sinα ⁄ cosα, α≠π(2k+1)⁄2, kΖ

ctgα = cosα ⁄ sinα, α≠πk, kΖ

tgα · ctgα = 1, α≠πk⁄2, kΖ

1 + tg²α = 1 ⁄ cos²α, α≠π(2k+1)⁄2

1 + ctg²α = 1 ⁄ sin²α, α≠πk

Формули додавання

sin(α + β) = sinα·cosβ + cosα·sinβ

sin(α - β) = sinα·cosβ - cosα·sinβ

cos(α + β) = cosα·cosβ - sinα·sinβ

cos(α - β) = cosα·cosβ + sinα·sinβ

tg(α + β) = (tgα + tgβ) ⁄ (1 - tgα · tgβ)

tg(α - β) = (tgα - tgβ) ⁄ (1 + tgα · tgβ), α, β, α-β≠π⁄2+πk, kΖ

Формули подвійного аргументу

sin2α = 2sinα·cosα

cos2α = cos²α - sin²α = 2cos²α - 1 = 1 - 2sin²α

tg2α = 2tgα ⁄ (1-tg²α)

Формули половинного аргументу

sin²(α⁄2) = (1-cosα) ⁄ 2

cos²(α⁄2) = (1+cosα) ⁄ 2

tg(α⁄2) = sinα ⁄ (1+cosα) = (1-cosα) ⁄ sinα, α≠π+2πk, kΖ

Формули перетворення суми в добуток

sinα + sinβ = 2sin((α+β)⁄2) · cos((α-β)⁄2)

sinα - sinβ = 2cos((α+β)⁄2) · sin((α-β)⁄2)

cosα + cosβ = 2cos((α+β)⁄2) · cos((α-β)⁄2)

cosα - cosβ = - 2sin((α+β)⁄2) · sin((α-β)⁄2)

tgα + tgβ = sin(α+β) ⁄ cosα·cosβ

tgα - tgβ = sin(α-β) ⁄ cosα·cosβ, α, β≠π⁄2+πk, kΖ

Формули перетворення добутку в суму

sinα · sinβ = (cos(α-β) - cos(α+β)) ⁄ 2

cosα · cosβ = (cos(α-β) + cos(α+β)) ⁄ 2

sinα · cosβ = (sin(α-β) + sin(α+β)) ⁄ 2

Співвідношення між sinα, cosα і tg(α⁄2)

sinα = 2tg(α⁄2) ⁄ (1+tg²(α⁄2)), α≠(2k+1)π

cosα = (1-tg²(α⁄2)) ⁄ (1+tg²(α⁄2)), α≠(2k+1)π

Додаткові формули

sin3α = 3sinα - 4sin³α

cos3α = 4cos³α - 3cosα

Формули зведення

ctg (π/2 + α) = - tg α

ctg (π + α) = ctg α

ctg (3π/2 + α) = - tg α

ctg (π/2 - α) = tg α

ctg (π - α) = - ctg α

ctg (3π/2 - α) = tg α

ctg (2π - α) = ctg α