12.Основные приемы преобразования тригонометрических выражений.

13.Способы доказательства тригонометрических тождеств.

При доказательстве любых  тождеств,  и  в частности   тригонометрических,  обычно  используют следующие способы: 1)   выражение, стоящее и одной части равенства, с помощью тождественных преобразований приводят к выражению, стоящему в   другой   части   равенства; 2)   выражения, стоящие в левой и  правой частях тождества, с помощью  тождественных   преобразований   приводят  к одному и тому же виду; 3)  доказывают,  что разность между левой и правой частями данного тождества равна нулю. При доказательстве тождеств используются приемы тождественного преобразования выражений, кроме этого следующие методы: -метод неопределённых коэффициентов -методы математического анализа, связанные с понятием производной -метод математической индукции.

14.Решение простейших уравнений.

К простейшим тригонометрическим уравнениям относятся уравнения вида sinx=a,cosx=a,tgx=a,ctgx=a

При решении уравнений sinx=a,cosx=a возможны следующие случаи:

-при|a|>1 уравнение не имеет корней

-при a=0,а=1,а=-1 уравнение удобно решать с помощью единичной окружности

-при 0<|a|<1то есть -1<a<0 или 0<a<1 решение находится соответственно по формулам x=(-1)^narcsina+Пn, n   Z.x=+-arccosa+2Лn, n   Z.

Формулы  решений  простейших  тригонометрических  уравнений

 

 

      Обращаем внимание  на то,  что  уравнения  для   tg x  и   ctg x   имеют решения  при  любом  значении  a   R,  а  уравнения  для   sin x   и   cosx  – лишь   при    a   [–1, 1].

15.Решение уравнений вида f(α)=f(β), где f –некоторая тригонометрическая функция.

 Тригонометрическим  уравнением  называется  уравнение  вида

где   f (x, y)    и   g (x, y)    –  тригонометрические  выражения.

     Для  таких  уравнений  справедливы  все  общие  положения  о равносильности  уравнений   и  их  следствиях.  Обычно  каждое  тригонометрическое  уравнение  с  помощью  соответствующим  образом подобранного  преобразования  сводится  к  простейшему тригонометрическому уравнению.

К  простейшим  тригонометрическим  уравнениям  относятся   следующие:

где    x  –  неизвестная  величина,   a  –  постоянная   (известное  число).

 

    

16.Решение однородных уравнений и сводящихся к ним.

Определение. Уравнение, в котором каждое слагаемое имеет одну и ту же степень, называется однородным.

Решаются такие уравнения делением левой и правой части на sinх или соsх соответствующей степени. Если считать sinх и соsх - члены первой степени, то каждое слагаемое должно иметь одинаковую степень, такие уравнения называются однородными. Предварительно проверив, что если соs х = 0 (или sinх =0) является решением, то его надо включить в ответ.

17.Решение уравнений вида asinx+bcosx=c.

Рассмотрим уравнение вида asinx+bcosx=c, где a, b, c – коэффициенты; x – неизвестное. Разделим обе части этого уравнения на  . В результате получим:

 Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса, а именно: модуль каждого из них не больше 1, а сумма их квадратов равна 1. Тогда можно обозначить их соответственно как cosφ и sinφ (здесь φ - так называемый вспомогательный угол), и наше уравнение принимает вид:

и его решение  .

Пример 2.9.1. Решить уравнение  .

Решение. Имеем  . Поэтому делим обе части уравнения на  :

Ответ:  .

Уравнение asinx+bcosx=c можно решить и другим способом – с помощью универсальной подстановки t=tg(x/2). С помощью этой подстановки уравнение сводится к алгебраическому уравнению. Действительно, так как имеют место тождества

,

то уравнение после замены преобразуется к следующему уравнению:  . Заметим, что в результате такой замены, из рассмотрения исключаются значения x, для которыхcos(x/2)=0. Поэтому эти значения x должны быть проверены подстановкой в уравнение на предмет обращения его в тождество.