7.4.Імовірність помилки при когерентному прийомі сигналів

Визначимо імовірність помилки при прийомі на оптимальний приймач. Оскільки така імовірність буде поліченою, то вона і буде характеризувати потенціальну завадостійкість при такому методі передачі. При передачі на реальний приймач завадостійкість буде меншою.

Нехай сигнал S₁ приймається з імовірністю р₁ а його значення S₂ з імовірністю р₂.

Імовірність помилки буде тоді, коли передається S₁ ( згідно Котельникова)

Noln (1)

В випадку адитивної завади:

х(t)=S₁(t)+W(t), (2)

тоді нерівність (1) набуде вигляду

dt — dt > No ln ;

або ж

< No ln — dt (3)

Якщо розкласти в ряди Фур’є то можна ввести повну випадкову величину ζ

ζ= = (4)

Оскільки W_l має нормальний розподіл з „0 ” математичним сподіванням , то ζ теж буде мати нормальний розподіл і „0” математичне сподівання з дисперсією

(5)

Густина імовірності ζ опишеться нормальним розподілом (Гранична теорема Ляпунова)

p(ζ)= (6)

Згідно Котельникова помилка при передачі буде тоді, коли

ζ< Noln — A (7)

Величина даної помилки буде функція розподілу

= (8)

прийняли відправили

Якщо ввести безрозмірну змінну

, тоді

p₂₁= (9)

де Ф(х) – функція помилок.

Явний вигляд аргумента

= (10)

Співвідношення можна спростити ввівши ряд значень:

= +

⁽¹¹⁾

Тоді

p₁₂ = (12)

Якщо ввести такі ж позначення, але передавати сигнал S₂ , а прийняти його як S₁ , маємо

р₁₂ = , (13)

де

Повна імовірність помилки при оптимальному прийомі бінарних сигналів S₁(t) та S₂(t) буде:

р_o = р₁ р₂₁ + р₂ р_{12 (14)}

В явному вигляді

(15)

Із (15) слідує, що потенціальна завадостійкість виражається α² та відношення ймовірностей.

α² – це відношення енергії різницевого сигнала до енергії завади No. р₂/р₁ чим більше відношення, тим більша завадостійкість. Відношення р₂/р₁ визначається статистичними властивостями повідомлення.

Часто р₁ = р₂ = 0,5 , тоді

р

16

_o= [1-Ф(α)] (16)

Якщо рівень завад малий, тобто коли α >>1 , членом можна знехтувати .

Тоді при довільних ймовірностях сигналів S₁ та S₂ вираз (16) описує завадостійкість системи.

Якщо ж завади мають значний рівень , тобто коли α <<1, залежність р_o від відношення ймовірностей є значним . І якщо це відношення зростає , то зростає також імовірність помилки.

Для систем , з активною павзою, в яких сигнали мають однакову енергію

= = вираз для α² можна перетворити

(17)

_де - коефіцієнт взаємної кореляції

= - відношення енергії сигналу до питомої потужності завади.

В такому випадку

(18)

Ясно , що коли ρ₁₂ = -1 тобто S₁(t) = - S₂(t) система забезпечує найменше значення р_о , тобто буде мати найбільшу завадостійкість.

Практичною реалізацією даного випадку є системи з фазовою маніпуляцією. Середня імовірність помилки визначається також модуляцією.

Для різних типів модуляцій будуть різні формули обчислень.

Розрахункові формули обчислення середньої імовірності помилки у разі оптимального прийому рівномірних сигналів з АМ , ЧМ , ФМ , та ВФМ в гаусовому каналі виведені в теорії завадостійкості описані в таблиці:

Дискретний сигнал	Когерентний прийом	Не когерентний прийом
АМ ЧМ ФМ ВФМ		-----------------------------------

де ; Es – енергія сигналу, No – густина потужності завади.

Фо(х) – табульований інтеграл помилок.

Отже завадостійкий прийом дискретних повідомлень визначається відношенням сигнал – завада , методом прийому сигналів та типом модуляції.