2. Решить системы уравнений двумя различными способами:

2.1

> restart;

Первый способ. С помощью команды solve.

> Eq1:=5*x1+5*x2+4*x3=13;

Eq2:=-3*x1+2*x2+7*x3=11;

Eq3:=2*x1+3*x2-4*x3=-6;

> solve({Eq1,Eq2,Eq3},{x1,x2,x3});

Второй способ. Решение в матричном виде.

> A:=matrix([[5,5,4],[-3,2,7],[2,3,-4]]);

b:=<13,11,-6>;

> evalm(A^(-1)&*b);

2.2.

> restart;

Первый способ.

> Eq1:=-2*x1+5*x2-3*x3=5;

Eq2:=2*x1+8*x2+4*x3=2;

Eq3:=4*x1+3*x2+7*x3=6;

> Eq1-Eq2+Eq3;

Получили противоречивое равенство. Следовательно, решений у данной системы нет.

Второй способ. По правилу Крамера.

> A:=matrix([[-2,5,-3],[2,8,4],[4,3,7]]);

A1:=matrix([[5,5,-3],[2,8,4],[6,3,7]]);

> linalg[det](A);

linalg[det](A1);

По правилу Крамера решений нет.

2.3.

> restart;

Первый способ. С помощью команды solve.

> Eq1:=2*x1-3*x2-x3=0;

Eq2:=x2+x3=0;

Eq3:=-x1+2*x2+x3=0;

> solve({Eq1,Eq2,Eq3},{x1,x2,x3});

Система имеет бесконечное множество решений.

Второй способ. С помощью команды linsolve.

> A:=matrix([[2,-3,-1],[0,1,1],[-1,2,1]]);

> linalg[linsolve](A,[0,0,0],'r',x);

Система имеет бесконечное множество решений.

3. Исследовать функцию на непрерывность в заданных точках:

3.1. ; , .

> restart;

> f:=1/(1-exp(x/(1-x)));

Находим значение функции в точке и её пределы в этой точке: , , .

> x1:=0;

> F(x1)=evalf(subs(x=x1,f));

Limit(F,x=x1)=limit(f,x=x1);

Limit(F,x=x1,left)=limit(f,x=x1,left);

Limit(F,x=x1,right)=limit(f,x=x1,right);

Функция в точке не определена, а пределы слева и справа бесконечны, следовательно, в точке функция имеет разрыв второго рода.

Аналогично для точки :

> x2:=1;

> F(x2)=subs(x=x2,f);

Limit(F,x=x2)=limit(f,x=x2);

Limit(F,x=x2,left)=limit(f,x=x2,left);

Limit(F,x=x2,right)=limit(f,x=x2,right);

Error, numeric exception: division by zero

Пределы справа и слева конечны, но не равны между собой, поэтому в точке функция имеет разрыв первого рода.

4. Исследовать на непрерывность и нарисовать эскизы графиков следующих функций:

4.1. .

> restart;

> y:=ln(x^2/(x+1)/(x+2));

Находим О.Д.З.:

> solve(op(1,y)>0,{x});

> limit(y,x=-2,left);

> limit(y,x=-1,right);

> limit(y,x=0,left);

> limit(y,x=0,right);

Функция имеет в точках , , разрывы второго рода.

> plot(y,x=-4..4,color=NAVY,thickness=2);

4.2. .

Необходимо рассмотреть 2 случая: и .

Случай 1.

> restart;

> assume(-1<=x,x<=1);

> limit((1+(x^2)^n)^(1/n),n=infinity);

Случай 2.

> assume(x<-1);

> limit((1+(x^2)^n)^(1/n),n=infinity);

> assume(x>1);

> limit((1+(x^2)^n)^(1/n),n=infinity);

> x:='x';

> y:=piecewise(x>=-1 and x<=1,1,x^2);

Исследуем функцию на непрерывность в точках .

> x1:=-1;

> Y(x1)=evalf(subs(x=x1,y));

Limit(Y,x=x1)=limit(y,x=x1);

Limit(Y,x=x1,left)=limit(y,x=x1,left);

Limit(Y,x=x1,right)=limit(y,x=x1,right);

> x2:=1;

> Y(x2)=evalf(subs(x=x2,y));

Limit(Y,x=x2)=limit(y,x=x2);

Limit(Y,x=x2,left)=limit(y,x=x2,left);

Limit(Y,x=x2,right)=limit(y,x=x2,right);

Функция непрерывна.

> plot(y,x=-2..2,discont=true,color=VIOLET,thickness=2);

4.3. .

> restart;

> y:=exp(a*x)*(a*sin(b*x)-b*cos(b*x))/(a^2+b^2);

Ищем критические точки:

> simplify(diff(y,x));

Критические точки — .

Функция непрерывна. Строим график функции и показываем на нём критические точки.

> a:=1:

b:=3:

> plot(y,x=-Pi/b..3*Pi/b,color=GREEN,thickness=2,

labels=[X,Y],

xtickmarks=[seq(evalf(Pi*k/b)=cat(k,`*Pi/b`),k=-1..3)]);

5. Вычислить производную:

5.1. .

> restart;

> y:=3*x^7+2/x^3+ln(x)-5*x^(3/5);

> diff(y,x);

5.2. .

> restart;

> y:=(x+2)^(5/7)+arcsin(x)*sqrt(1-x^2);

> diff(y,x);

5.3. .

> restart;

> y:=cot(1/x)+arccot(1/x);

> d:=diff(y,x);

> simplify(op(1,d))+simplify(op(2,d));

6. Построить график поверхности:

6.1. .

> restart;

> z:=0.5*y^3*cos(x+2*y)+ln(3*x^2+y^4);

> plot3d(z,x=-2..2,y=-3..2,axes=BOXED,shading=Z,style=PATCHCONTOUR);

7. Даны вектора , , :

, , .

> restart;

> a:=vector([-4,-2,3]);

b:=vector([2,1,-3/2]);

c:=vector([1,0,-5]);

Определить:

7.1. Длину вектора : . .

> l_a:=sqrt(a[1]^2+a[2]^2+a[3]^2);

7.2. Скалярное произведение . .

> sp:=a[1]*b[1]+a[2]*b[2]+a[3]*b[3];

7.3. Косинус угла между векторами и . .

> l_b:=sqrt(b[1]^2+b[2]^2+b[3]^2);

> cos_ab:=sp/l_a/l_b;

7.4. Векторное произведение ; .

.

> vp:=vector([a[2]*b[3]-a[3]*b[2],a[3]*b[1]-a[1]*b[3],a[1]*b[2]-a[2]*b[1]]);

> l_vp:=sqrt(vp[1]^2+vp[2]^2+vp[3]^2);

7.5. Смешанное произведение векторов , , .

.

> A:=matrix(3,3,[a,b,c]);

> abc:=linalg[det](A);

7.6. Определить коллинеарность векторов и .

Векторы и коллинеарны, поскольку , т.е. .

7.7. Определить компланарность векторов , , .

Необходимое и достаточное условие компланарности векторов , , :

.

Это условие выполнено, поэтому векторы , , компланарны.

7.8. Построить заданные вектора.

> with(plottools):

> p_a:=arrow([0,0,0],a,0.2,0.4,0.1,color=GREEN):

p_b:=arrow([0,0,0],b,0.2,0.4,0.1,color=BLUE):

p_c:=arrow([0,0,0],c,0.2,0.4,0.1,color=BLACK):

> plots[display](p_a,p_b,p_c,axes=NORMAL,orientation=[30,80]);

8. На одном рисунке изобразить график функции , её производной и касательной в точке .

> restart;

> y:=sin(cos(Pi/(x^2+1)));

> y1:=diff(y,x);

Уравнение касательной к функции в точке имеет вид:

.

> x0:=1;

> y2:=simplify(subs(x=x0,y)+subs(x=x0,y1)*(x-x0));

> plot([y,y1,y2],x=-Pi..Pi,color=[RED,GREEN,BLUE],thickness=2);

9. Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения и системы дифференциальных уравнений. Проверить полученный результат. Построить графики полученных решений.

9.1. , , .

> restart;

> Eq:=diff(y(x),x$2)+2*diff(y(x),x)+3*y(x)=x*exp(x);

GU:=y(0)=0,D(y)(0)=0;

> res:=dsolve({Eq,GU},y(x));

> assign(res);

Проверяем полученный результат.

> simplify(Eq);

> plot(y(x),x=-2..2,color=MAROON,thickness=2);

9.2. , , .

> restart;

> Eq1:=diff(x(t),t)=2*x(t)+y(t)+z(t);

Eq2:=diff(y(t),t)=x(t)+2*y(t)+z(t);

Eq3:=diff(z(t),t)=x(t)+y(t)+2*z(t);

GU:=x(0)=1,y(0)=2,z(0)=3;

> res:=dsolve({Eq1,Eq2,Eq3,GU},{x(t),y(t),z(t)});

> assign(res);

Проверяем полученный результат.

> simplify(Eq1);

simplify(Eq2);

simplify(Eq3);

> plot([x(t),y(t),z(t)],t=-2..1,-1..10,color=[RED,GREEN,BLUE],thickness=2);