Вопрос 3.

Элементы комбинаторики: размещения (с повторениями, без повторений). Сочетания из n элементов по k: понятия, вычисления, примеры.

При подсчете числа исходов испытаний, используют понятия и формулы комбинаторики.

Пусть заданно множество П из n(n принадлежит N) различных элементов . установленный во множестве П порядок называется перестановкой его элементов.

Перестановки отличаются друг от друга только порядком следования элементов. Число перестановок n элементов обозначается Pn и равно:

Pn=n! ,где n!=1*2*3*…*n.

Каждое упорядоченное подмножество П, состоящее из m(m<n) элементов, называется размещением из n элементов по m. Размещения отличаются друг от друга или порядком следования элементов, или самими элементами. Число размещений из n по m равно:

Любое подмножество множеста П, состоящее из m(m<n) элементов, называется сочетанием из n элементов по m. Сочетания отличаются друг от друга только самими элементами. Число размещений из n по m равно:

Отображение множества  первых натуральных чисел   в данное множество  , называется размещением с повторениями, составленным из данных   элементов по  .

Пример. Всевозможные размещения с повторениями из трех элементов   по 2:

Размещения без повторений из n элементов по m - упорядоченные m-множества,состоящие из элементов n- множества.

Вопрос 4.

Геометрический подход к вычислению вероятностей.

Пусть исход некоторого испытания, в котором событие А может проявиться, а может и не проявиться, задается точкой некоторого множества G, соответствующего достоверному событию. F – подмножество множества G. Каждая точка множества F – это исход испытания, в котором событие А появилось. Будем обозначать через mesF (mesG) меру множеств: если F – отрезок, то mesF длинна отрезка, если F – фигура, то mesF ее площадь.

Геометрической вероятностью события А называется число, равное отношению меры фигуры F к мере фигуры G:

Вопрос 5.

Сумма случайных событий. Совместные и несовместные события. Теоремы сложения вероятностей совместных и несовместных событий (с доказательством). Сумма вероятностей противоположных событий. Привести пример сложения вероятностей событий.

Суммой событий А1+А2+…+An называется событие, состоящие в появлении, хотябы одного из них.

События А и В называются несовместными, если они не могут произойти одновременно при одном и том же испытании. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: Р(А+В)=Р(А)+Р(В). В противном случае события называют совместными: Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(А*В). Если события А и В несовместные, то Р(АВ)=0.

Теорема. Вероятность суммы 2-х совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без учета их совместного появления. p(A+B)=p(A)+p(B)−p(AB) 

Доказательство:

A+B=AB+AB+AB (сумма несовместных пар)

Тогда p(A+B)=p(AB)+p(AB)+p(AB)

Событие A=AB+AB,

Событие B=AB+AB

p(A+B)=p(A)−p(AB)+p(B)−p(AB)+p(AB)=p(A)+p(B)−p(AB)  

Замечание: в этой теореме может существовать 2 различные ситуации.

p(A+B)=p(A)+p(B)−p(A)p(B),  где A и B - независимые;

p(A+B)=p(A)+p(B)−p(A)p(B∖A),  где A и B - зависимые;

Теорема. Вероятность суммы 2-х несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий p(A+B)=p(A)+p(B)

Доказательство:

Если n - общее число всех элементарных исходов;

m1 -- число исходов благоприятных событию A;

m2 -- число исходов благоприятных событию B;

p(A+B)=nm1+m2=nm1+nm2=p(A)+p(B)

Противоположные события - события, которые являются 2-мя возможными исходами одного испытания.

Примеры:

1. A - орел, A' - решка; 

2. A - попадание в мишень, A’ - промах.

Теорема. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

.

Доказательство базируется на том, что противоположные события образуют полную группу, а сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице (см. Теорему о полной группе событий).

З а м е ч а н и е 1. Если вероятность одного из двух противоположных событий обозначена через р, то вероятность другого события обозначают через q. Таким образом, в силу предыдущей теоремы

p + q = 1 З а м е ч а н и е 2. При решении задач на отыскание вероятности события А часто выгодно сначала вычислить вероятность противоположного события, а затем найти искомую вероятность по формуле

.