27) Образование прямых скачков уплотнения

Опыты показывают, что обтекание тел сверхзвуковыми потоками, также как и течение сверхзвукового потока газа в различных соплах и насадках, обладает специфическими возможностями по сравнению с аналогичными течениями дозвуковых потоков газа.

Одна из этих особенностей состоит в том, что в ряде случаев основные параметры, характеризующие движение и состояние газа, а именно: давление, плотность, температура и скорость, не являются непрерывными функциями точек пространства, заполненного текущим газом. При торможении сверхзвукового потока возникают поверхности, на которых параметры газа меняются скачкообразно. Места такого изменения параметров, сопровождающиеся возрастанием давления, плотности, температуры и уменьшением скорости, называются скачками уплотнения.

Поверхности образующихся скачков могут быть как перпендикулярны к направлению скорости набегающего потока, так и неперпендикулярны к ней. В первом случае поток, пройдя скачок уплотнения, не меняет своего направления, и скачок называется прямым, а во втором случае поток газа меняет направление и скачок называется косым.

Существование скачков уплотнения связано с возникновением и развитием ударных волн. Представим себе, как показано на рис.9.1, теплоизолированную цилиндрическую трубу бесконечной длины, вдоль которой может перемещаться поршень. Труба заполнена неподвижным газом с параметрами р₀, Т₀, _0. Пусть в начальный момент времени t₀=0 поршень начинает равномерно вдвигаться в трубу с постоянной скоростью w, меньшей скорости звука в невозмущенном газе, и сжимать впереди себя газ. Любое возмущение, в данном случае сжатие газа, передается в веществе с конечной скоростью u, поэтому впереди поршня образуется конечная область сжатого вещества.

З а время t длина этой области станет равной . За это же время поршень переместится на расстояние wt.

Представим, что время t изменяется не непрерывно, а дискретно небольшими шагами по t. Первое возмущение давления распространяется в газе в обе стороны от поршня со скоростью звука в невозмущенном газе . Последующее возмущение, передающееся от поршня позднее на величину t, будет распространяться по направлению движения поршня в газе, уже сжатом первой волной сжатия, с местной скоростью звука , где . Двигающаяся влево от поршня волна разрежения будет перемещаться по газу, уже охлажденному первой волной. Скорость звука в этом пространстве будет ниже начальной.

Распространение возмущений, создаваемых поршнем, можно рассматривать как совокупность непрерывно следующих друг за другом волн, причем каждая последующая волна перемещается по газу, возмущенному предыдущими волнами. Так как сжатие газа сопровождается его нагревом, а расширение – охлаждением, то скорость распространения волн сжатия будет возрастать. Каждая последующая волна сжатия будет перемещаться относительно невозмущенного газа несколько быстрее, чем предыдущая. Волны будут догонять друг друга, складываться и образовывать одну обладающую конечной интенсивностью волну сжатия, называемую ударной волной.

Каждая последующая волна разрежения будет перемещаться по более охлажденному газу медленнее, чем предыдущая, волны разрежения будут отставать друг от друга. Отсюда следует, что в процессах, где нет подвода и отвода тепла, ударных волн разрежения и скачков разрежения не существует. Волны разрежения возникают при конденсации пара, а также во фронте горения, но там процесс связан с охлаждением или нагревом газа.

После того, как ударная волна сжатия сформировалась, образуется тонкий слой газа, на котором параметры газа (плотность, температура и скорость) меняются скачкообразно. Толщина слоя приблизительно равна длине свободного пробега молекул. В этом слое упорядоченное движение молекул за счет взаимных столкновений переходит в беспорядочное тепловое, что и приводит к разогреву слоя. Обычно толщиной слоя пренебрегают и считают, что изменение параметров происходит скачкообразно при пересечении поверхности фронта волны нулевой толщины.

Так как процесс сжатия газа происходит быстро, то можно пренебречь теплопроводностью газа и не учитывать передачу тепла от сжатого газа к несжатому.

Обозначим площадь сечения трубы через S. За время t от начала движения поршня объем возмущенного газа составит , а его масса будет равна . Но за счет движения поршня эта масса будет сосредоточена в объеме . Так как объем газа уменьшился, то его плотность должна увеличиться до величины

. (9.1)

Сжатый газ движется со скоростью поршня w, которая меньше скорости распространения возмущения v. Согласно второму закону Ньютона произведение массы на изменение скорости равно импульсу силы, т.е. произведению силы на время ее действия. Обозначая давление в невозмущенном и сжатом газе как р₀ и р соответственно, получим