2. Способы задания функций. Виды элементарных функций

Задать функцию - значит задать правило или закон, согласно которому данному значению аргумента х определяется соответствующее значение функции у.

Рассмотрим способы задания функции.

1. Аналитический способ - задание функции с помощью формул. Например, растворение лекарственных веществ из таблеток при приготовлении растворов подчиняется уравнению m = m₀е^–kt, где m₀ и m – соответственно, исходное и оставшееся ко времени растворения t количество лекарственного вещества в таблетке, k – некоторая постоянная положительная величина.

2. Графический способ - это задание функции в виде графика. Например, с помощью электрокардиографа на бумаге или на экране монитора компьютера фиксируется возникающая при работе сердца величина разности биопотенциалов U как функция времени t: U = f(t).

3. Табличный способ - это задание функции с помощью таблицы. Такой способ задания функции используется в экспериментах и наблюдениях. Например, измеряя температуру тела больного через определенные промежутки времени, можно составить таблицу значений температуры тела Т как функции времени t. На основании табличных данных иногда оказывается возможным выразить приближенно формулой соответствие между аргументом и функцией. Такие формулы называют эмпирическими, т.е. полученными из опыта.

В математике различают элементарные и сложные функции. Приведем основные виды элементарных функций:

1. Степенная функция – y = f(x) = xⁿ, где х – аргумент, n – любое действительное число (1, 2, - 2, и т.д.).

2. Показательная функция – y = f(x) = a^x, где а - постоянное положительное число, отличное от единицы (а > 0, а ≠ 0), например:

y = 10^x (a = 10);

y = e^x; y = e^-x (a = e ≈ 2,718…)

Выделим две последние функции, они называются экспоненциальными функциями или экспонентами и описывают множество физических, биофизических, химических и социальных процессов. Причем y = e^x – возрастающая экспонента, y = e^-x – убывающая экспонента.

3. Логарифмическая функция с любым основанием а: y = log_ax, где у - степень, в которую нужно возвести основание функции а, чтобы получить данное число x, т. е. a ^y = x.

Если основание а = 10, то y называется десятичным логарифмом числа x и обозначается y = lg x; если a=e, то y называется натуральным логарифмом числа x и обозначается у =1n х.

Напомним некоторые правила логарифмирования:

Пусть даны два числа а и b, тогда:

• lg (a·b) = lg a + lg b;

• lg = lg a - lg b;

• lg ab = b lg a;

Ничего не изменится при замене символа lg на ln.

Полезно также помнить, что lg 10 = 1, ln е = 1, lg 1 = ln 1 = 0.

4. Тригонометрические функции: y = sin x, y = cos x, y = tg x и др.

_{П риведем графики некоторых элементарных функций (см. рис. 1):}

3. Понятие предела переменной. Производная функции. Таблица производных. Правила дифференцирования

Переменная величина может изменяться так, что в процессе возрастания или убывания она приближается к некоторой конечной постоянной величине, которая является ее пределом.

По определению пределом переменной величины х называется постоянная величина А, к которой переменная х в процессе своего изменения приближается так, что модуль разности между x и А, т.е. | х - А |, стремится к нулю.

Обозначения предела: x→ А или lim x = A (здесь → - знак предельного перехода, lim от лат. limited, в переводе на русский – предел). Рассмотрим элементарный пример:

x : 0,9; 0,99; 0,999; 0,9999…→ 1, A = 1(lim x = 1), т.к.

| х - А |: 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001…→ 0.

В ведем понятия приращение аргумента и приращение функции.

Если переменная величина х изменяет свое значение от x₁ до х₂, то разность x₂ – x₁ = Δx называется приращением аргумента, причем Δx (читается дельта х) – единый символ приращения. Соответствующее изменение функции y₂ – y₁ = Δy называется приращением функции. Покажем это на графике функции y = f(x) (рис. 2). Геометрически приращение аргумента изображается приращением абсциссы точки кривой, а приращение функции - приращением ординаты этой точки.

Производной заданной функции y = f(x) по аргументу х называется предел отношения приращения функции Δу к приращению аргумента Δх, когда последнее стремится к нулю (Δх → 0).

Производная функции обозначается (читается «у штрих») или , или dy/dx (читается «дэ y по дэ x»). Таким образом, производная функции y = f(x) равна:

(4)

Правило для отыскания производной функции у = f(х) по аргументу х содержится в определении этой величины: нужно задать приращение аргумента Δх, найти приращение функции Δy, составить отношение и найти предел этого отношения при Δх→ 0.

Процесс нахождения производной называется дифференцированием функции. Этим занимается раздел высшей математики называемый «Дифференциальное исчисление».

Таблица производных основных элементарных функций, полученных по указанному выше правилу, приведена ниже.

Таблица 1

№ п/п	Виды функции	Производная функции
1	Постоянная величина y = c	y' = 0
2	Степенная функция y = xn (n может быть положительным, отрицательным, целым, дробным)	y' = nxn-1
3	Показательная функция y = ax (a > 0; a ≠ 1) y = ex y = e-x, у=e-kx (k=const)	y' = axln a y' = ex y' = - e-x, y' = -k e-kx
4	Логарифмическая функция y = logax (a > 0; a ≠ 1) y = ln x	y' = y' =
5	Тригонометрические функции: y = sin x y = cos x y = tg x y = ctg x	y' = cos x y' = - sin x y' = y' =

Если выражение, производную которого надо найти, представляет собой сумму, разность, произведение или частное нескольких функций, например, u, v, z, то используются нижеприведенные правила дифференцирования (табл. 2).

Таблица 2

1. y = u + v – z	1) y' = u' + v' - z'
2. y = u · v	2) y = u' · v + v '· u
3. y =	3) y' =
4. y = a · u, где a = const	4) y' = a · u'

Приведем несколько примеров вычисления производных, используя таблицы 1 и 2.

1. (x + sin x )' = (x)' + (sin x)' = 1 + cos x;

2. (x · sin x )' = (x)' · sin x + x · (sin x)' = sin x + x cos x;

3. ;

4. (5 tgx)' = 5 (tg x)' = .