3.Неперервність ф-ї в точці та на проміжку.

Функція   дійсної змінної, яка означена в області  , неперервна в точці   якщо для довільного   знайдеться таке   (яке залежить від  ), що з   випливає   Функція   неперервна в області  , якщо   неперервна в кожній точці цієї області.

Для того щоб ф-я була неперервною в т х0 необх і достатньо щоб вик-сь наст умови:

1. Ф-я визначена в т х0

2. Лівостор і прав ост границі Е і рівні Ф(х0-0)=Ф(х0+0)

3. Ці одностор границі в т. х0=знач ф-ї в цій т. Ф(х0-0)=Ф(х0+0)=Ф(х0)

Якщо хоч 1 з цих умов не виконується в т. х0 то ф-я в цій т наз розривною, а сама т х0 наз точкою розриву ф-ї

Означення неперервності в точці

Функція f називається неперервною в точці   якщо:

1. функція f(x) визначена в точці x₀.

2. існує границя 

3. .

Означення неперервності в точці   за Коші

Функція f називається неперервною в точці   якщо:    , що   => 

Означення неперервності в точці   за Гейне

Функція f називається неперервною в точці   якщо:  , якщо  , то  .

Точки розриву

Точка розриву - це така точка (значення аргументу) в якій функція не є неперервною.

Розрізняють такі види точок розриву:

Розрив називають усувним, якщо в даній точці існує границя функції, що не збігається з значенням функції.

Точку називають точкою розриву першого роду, якщо існують скінченні ліва та права границі в даній точці, та вони не збігаються.

Якщо хоча б одна одностороння границя не існує, чи нескінченна, то точку називають точкою розриву другого роду.

Основні властивості неперервних функцій

Теорема 1. Якщо функції   і   є неперервними в точці  , то в цій точці будуть неперервними і функції  ,  . Теорема 2. Якщо   і   є неперервними в точці   і  , то в точці   є неперервною також і функція  . Зверніть увагу: всі дробово-раціональні функції і основні тригонометричні функції є неперервними на будь-якому проміжку, у кожній точці якого вони визначені. Графік неперервної функції на такому проміжку є безперервною лінією. Теорема 3. Нехай функція неперервна на проміжку   і приймає на його кінцях значення різних знаків. Тоді вона обертається в нуль хоча б в одній точці цього проміжку. Якщо функція   є монотонною на  , то вона перетворюється на 0 тільки один раз. Наслідки 1) Якщо функція неперервна на проміжку  , то вона дістає на цьому проміжку будь-яке значення M, яке розташоване між   і  . 2) Якщо функція неперервна на проміжку   і не перетворюється на нуль всередині цього проміжка, то вона має один і той самий знак в усіх внутрішніх точках проміжку. Ці властивості дають змогу обґрунтувати метод інтервалів, який широко застосовується для розв’язування нерівностей. 

4.Означення похідної.

Похідною функції f(x) у точці х₀ називається границя (якщо вона існує) відношення приросту функції у точці х₀ до приросту аргументу Δх, якщо приріст аргументу прямує до нуля і позначається f'(x₀).

Похідні основних елементарних функцій:

• (C)' = 0, де С - деяка стала;

• (x)' = 1;

• (e^x)' = e^x;

• (xⁿ)' = n•x^{n - 1};

• (sin x)' = cos x;

• (cos x)' = -sin x.

Основні правила диференціювання:

• (c•u)' = c•u';

• (u ± v)' = u ± v';

• (u•v)' = u'v + uv';

• 

Похідна складної функції f(g(x)) обчислюється за правилом (f(g(x)))' = f'(g(x))•g'(x).

Застосування похідної для дослідження функцій Якщо y'(x) > 0, то функція зростає. Якщо y'(x) < 0, то функція спадає. Якщо y'(x) = 0 (або не існує), то в точці x = x₀ знаходиться екстремум функції (максимум або мінімум).

П охідна функції має такий геометричний зміст: похідна функції в заданій точці є кутовим коефіцієнтом дотичної до графіка функції в цій точці, тобто дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної до графіка функції в заданій точці.

f(x₀) =k = tg α

Розглянемо функцію у = f(x). її графік зображено на рис. У точці М(х₀, у₀) проведено дотичну до кривої у = f(x). Складемо рівняння дотичної AM, знаючи координати точки М(х₀; у₀) дотику і рівняння у = f(x) кривої. Дотична — це пряма. Рівняння будь-якої прямої має вигляд: у = kx + b.

Оскільки k = f'(x0), тому рівняння дотичної має вигляд: 

Знайдемо b, виходячи з того, що дотична проходить через точку М(х₀; у₀) і тому її координати задовольняють рівнянню дотичної: , звідси b = у₀- f'(x₀) • х₀.

Тепер підставимо значення b в рівняння (1) дотичної і одержимо:

Отже, рівняння дотичної до кривої у = f(x) в точці М(х₀;у₀) має вигляд:

(2)

Рівняння дотичної до кривої у = f(x) у заданій точці х₀ можна знаходити за таким планом (схемою):

1. Записуємо рівняння (2) дотичної:

2.  Знаходимо у₀ = f(x₀).

3.  Знаходимо значення f'(x) у точці x₀: f'(x₀).

4.  Підставляємо значення х₀, у₀ і f'(x₀) у рівняння (2).

Приклад 1.

Складіть рівняння дотичної до графіка функції у = x² - 4х в точці х₀ = 1.

Виконайте схематичний рисунок.

Розв'язання

1.     y-y_о = f'(x_o)(x-x_o) - рівняння шуканої дотичної.

2.     Підставляємо значення x₀ = 1, y₀ = -З у₀=-3

 

., 

 f^!(x₀) = -2 у рівняння дотичної:

у + 3 = -2(х - 1), або у = -3 - 2х + 2, або у = -1-2х

 

Значення похідної в деякій точці дорівнює тангенсу кута, утвореного дотичною до кривої в цій точці з додатним напрямом осі Ох.

Механічний зміст похідної:

Я кщо задано функцію  , за допомогою якої можна визначити положення точки для будь-якого моменту часу, то рух вважається заданим, а рівняння   – рівнянням руху.

Так, в момент часу   точка знаходиться в точці М на відстані  . Розглянемо момент  , коли точка знаходиться в точці М₁ на відстані   від точки О. За час   точка пройшла шлях   із середньою швидкістю

.

Границя середньої швидкості за проміжок часу  , коли   прямує до нуля, називається швидкістю точки в довільний момент часу. Отже:

.

Швидкість точки, що рухається в довільний момент часу , похідною від шляху за часом, а похідна швидкості за часом є прискоренням.

Під час розв’язування задач з фізики користуються такими похідними:

;	;
;	;
;	;
;	;

Під фізичним змістом похідної розуміють швидкість зміни функції в цій точці. У зв’язку з цим можна визначити економічний зміст похідної як швидкість зміни деякого економічного процесу.

Враховуючи, що похідна функції   – це  , і вважаючи, що витрати   виробництва є функцією кількості   однорідної продукції, що виробляється, знаходимо середній приріст витрат на одиницю продукції як  , де   – приріст витрат виробництва, а   – приріст продукції. Тоді похідна   виражає граничні витрати виробництва.

Приклад 3. На основі досліджень отримали функцію прибутку від ціни p за одиницю продукції:  . Яким буде граничний прибуток фірми залежно від ціни для значень:  ?

Розв’язання. Згідно з економічним значенням похідної граничний прибуток буде визначатися похідною  :

Звідки 

Отже, при збільшенні ціни одиниці продукції до 5 ( ) прибуток зростатиме і найбільшим буде при  : .

При збільшенні ціни, починаючи з  , прибуток фірми зменшуватиметься. Отже, знак мінус у похідної   вказує, що виробництво стане

менш прибутковим порівняно з оптимальним варіантом.

Знак похідної дозволяє проаналізувати поведінку функції не тільки в точці, але й на проміжку. Так, при значеннях змінної, за яких похідна додатна, функція зростає, а при тих значеннях змінної, за яких похідна від’ємна, функція спадає. Проміжки зростання та спадання функції називають проміжками монотонності.

Точки, в яких похідна дорівнює нулю і при переході через які змінює знак, називають точками локального екстремуму.

Причому при зміні знака похідної з плюса на мінус маємо локальний максимум, а з мінуса на плюс – локальний мінімум.

Дотична до кривої в точці — пряма, що проходить через цю точку, і в певному околі точки не має з нею інших спільних точок.

Наприклад, дотична до кола має рівно одну спільну точку з колом.

Загалом дотична може перетинати криву в далеких точках, як показано на малюнку.

Рівняння дотичної до кривої   у точці   має вигляд:

де   - похідна функції   у точці  .

5.Правила диференціювання.Похідні основних елементарніх ф-й.

Дії знаходження похідних функцій називаються диференціюванням функцій і виконуються за такими правилами: