Практическая часть Задача 1

Выполнение первого задания предполагает следующие действия:

1. построение математической модели задачи;

2. получение решения задачи;

3. выполнение анализа отчетов по результатам и устойчивости

4. ответы на вопросы задания;

5. с помощью возможностей Excel построить отчет, в котором привести оптимальную программу и суммарные затраты ресурсов на ее выполнение. Отчет должен быть выполнен таким образом, чтобы любое изменение в решении задачи автоматически отображалось в отчете.

Условие ЗАДАЧИ 1:

На предприятии выпускается три вида изделий, и используется при этом три вида сырья, необходимо решить задачу оптимального использования ресурсов для получения максимальной прибыли:

Тип сырья	Нормы расхода сырья на одно изделие				Запасы сырья
	А	Б	В
I	18	15	12	420
II	6	4	9	120
III	5	3	3	180
Цена изделия	19	21	16

1) Как изменится общая стоимость выпускаемой продукции и план ее выпуска, если запас сырья I вида увеличить на 60 ед., а II вида- уменьшить на 10 ед.?

2) Целесообразно ли включать в план изделие Г ценой 17 единиц, если нормы затрат сырья составляют 11, 7 и 6 ед.соответственно?

Решение:

Построение математической модели задачи.

Введем следующие обозначения:

x₁ - количество продукции A

x₂ – количество продукции Б

х_{3 –} количество продукции В

Прибыль от реализации продуктов вида А составляет 19 Х₁, вида Б – 21X₂, вида В – 16 X₃. Запишем критерий оптимальности:

F(x)=19*х₁+21*x₂+16*x₃ max

Ограничения имеют вид:

18*х₁+15*х₂+12*х₃<=420 ограничение по I типу сырья

6*х₁+4*х₂+8*х₃<=120 ограничение по II типу сырья

5*х₁+3*х₂+3*х₃<=180 ограничение по III типу сырья

Ввод исходных данных.

Выбор и указание адресов ячеек, в которые будет помещен результат решения (изменяемые ячейки).

В нашей задаче х1, х2, х3, обозначают нормы расходов сырья на изделие каждого типа. Для оптимального значения вектора Х=( х1, х2, х3) зарезервируем ячейки B2:D2, а для оптимального значения целевой функции (максимальная прибыль) – ячейку G4.

Ввод зависимости для целевой функции.

Поместим курсор в ячейку G4. С помощью мастера функций введем функцию СУММПРОИЗВ. В окне функции в строку Массив1 введем В2:D2 (ячейки искомых переменных. Этот массив будет использоваться при вводе зависимостей для ограничений, сделаем на него абсолютную ссылку с помощью клавиши F4.

В строку Массив2 вводим B4:D4. На экране до нажатия кнопки ОК будем иметь:

После нажатия кнопки ОК, то есть после выполнения функции СУММПРОИЗВ вид экрана показан на рисунке:

Целевая функция вычисляется по формуле:

=СУММПРОИЗВ($B$2:$D$2;B4:D4)

В диалоговом окне Поиск решения нажмем кнопку Параметры. На экране появится диалоговое окно Параметры поиска решения. Устанавливаем флажки в окнах Линейная модель (это обеспечит применение симплекс-метода) и Неотрицательные значения.· Нажимаем на кнопку ОК. На экране появится диалоговое окно Поиск решения.· Нажимаем на кнопку Выполнить. Через короткий промежуток времени появится окно Результаты поиска решения и исходная таблица с заполненными ячейками В2:D2 для значений хi, и ячейка G4 с максимальным значением целевой функции:

Указываем тип отчетов Результаты и Устойчивость. В результате получим на отдельных листах Отчет по результатам и Отчет по устойчивости.

Отчет по результатам включает исходные и конечные данные (оптимальные) значения целевой функции и изменяемых ячеек, а также формул ограничений и дополнительных сведений о наложенных ограничениях.

Отчет по устойчивости содержит сведения о чувствительности решения (нормируемая стоимость и теневая цена) к изменениям значений влияющих ячеек и ячеек, содержащих формулы ограничений, а также предельные изменения целевых коэффициентов и правых частей ограничений, определяющие границы устойчивости найденных решений. Нормируемая стоимость показывает на сколько изменится целевая функция в случае принудительного включения единицы соответствующей продукции в оптимальный план выпуска.

Отчетом по результатам и Отчетом по устойчивости будут иметь вид:

Структура отчета по результатам.

В разделе Целевая ячейка указана максимальная суммарная прибыль – 420 денежных единицы.

В разделе Изменяемые ячейки показан оптимальный план:

Х1 (количество продукции А) –0;

Х2 (количество продукции Б) – 20;

Х3 (количество продукции В) – 0.

В разделе Ограничения показано, что при оптимальном плане тип сырья II используются полностью (Статус - связанное), а тип сырья I и III – недоиспользуется (Статус - несвязанное)

Самыми ценными ресурсами для выпуска являются продукции вида Б, а продукции видов А и В не выгодны для предприятия.

Структура отчета по устойчивости.

В данном отчете приводится следующая информация о переменных:

· результирующее значение - оптимальные значения переменных;

· нормированная стоимость - ее величина равна значению соответствующей симплексной оценки с противоположным знаком. Для невыпускаемой продукции нормированная стоимость показывает, на сколько изменится целевая функция при принудительном включении единицы этой продукции в оптимальное решение;

·  коэффициенты целевой функции;

· предельные значения приращения коэффициентов целевой функции, которые показывают на сколько можно увеличить и уменьшить каждый целевой коэффициент в отдельности, сохраняя при этом оптимальные значения переменных;

· величины использованных ресурсов (левые части ограничений) при оптимальном плане выпуска продукции;

· теневые цены, т.е. оптимальные значения двойственных переменных, которые показывают, как изменится целевая функция при изменении соответствующего запаса ресурса на единицу;

· исходные запасы ресурсов (правые части ограничений);

· предельные значения приращений ресурсов (их допустимое увеличение и уменьшение), при которых сохраняется оптимальный план двойственной задачи и базисный набор переменных, входящих в оптимальное решение исходной задачи (ассортимент выпускаемой продукции).

В разделе Ограничения есть параметр Теневая цена, который показывает, как влияет увеличение ресурсов на единицу на увеличение значения целевой функции. По дефицитным видам ресурсов (полностью использованными в оптимальном плане) теневая цена больше нуля, причем самым дефицитным является тот ресурс, у которого теневая цена максимальна.

Например, подсчитаем, как изменится стоимость выпускаемой продукции и план ее выпуска, если запас сырья I вида увеличить на 60 единиц, а II вида – уменьшить на 10 единиц? Посмотрим на отчет по устойчивости, после решения вопроса в электронном виде.

Мы видим, что нормированная стоимость продукции, по сравнению с первым отчетом по устойчивости, никак не изменилась.

Двумя правыми колонками задается допустимый диапазон изменения запаса ресурсов. При изменении запаса ресурсов в указанном диапазоне значение теневой цены сохраняется.

Для того, чтобы узнать, в какой ресурс следует вкладывать средства, то есть увеличить его запасы до предельного значения, нужно для каждого ресурса вычислить произведение его теневой цены на допустимое увеличение.

Запасы сырья II вида: 4*132= 528 денежных единиц.

Отсюда делаем вывод, что выгоднее всего вкладывать средства в закупку Запасов сырья вида II.

В разделе Изменяемые ячейки есть параметр Нормированная стоимость. С помощью этого параметра сравниваются затраты ресурсов на производство единицы продукции (путем умножения теневой цены на норму расхода) и прибыль от единицы продукции.

По тем видам изделий, где нормированная стоимость больше или равна нулю, делается вывод, что выпуск этих изделий предприятию выгоден (в данном случае изделие вида Б).

Если нормированная стоимость отрицательна, то выпуск этого изделия предприятию невыгоден, и выпуск каждой единицы этого изделия снижает суммарную прибыль на указанное значение нормированной стоимости.

Затраты ресурсов на производство единицы продукции вычисляются путем умножения теневой цены каждого ресурса на нормы его расхода на единицу изделия и последующего суммирования их.

С помощью теневой цены можно исследовать вопрос о целесообразности выпуска нового вида изделия. Например, стоит ли предприятию выпускать изделие Г, о котором известно следующее:

· Прибыль от единицы этого изделия составляет 17 денежных единиц

· Затраты сырья вида I – 11;

· Затраты сырья вида II – 7;

· Затраты сырья вида III - 6.

Рассчитываем нормированную стоимость:

11*0+7*4+6*0=28 -затраты на одно изделие

17-28=-11 нормированная стоимость.

Следовательно, выпускать изделие Г предприятию не выгодно, так как затраты на изделие вида Г превышают прибыль. Три последних столбца определяют допустимый диапазон прибыли от единицы изделия. Целевая функция – это прибыль от единицы изделия. В данном случае она равна 420единицам.