Некоторые следствия из аксиом

Теорема 1.  Через прямую a и не лежащую на ней точку А проходит плоскость, и притом только одна.

Теорема 2.  Через две пересекающиеся прямые a и b проходит плоскость, и при том только одна.

8)

Признак параллельности прямой и плоскости

Прямая и плоскость называются параллельными, если они не пересекаются (не имеют общих точек). Теорема (признак параллельности прямой и плоскости). Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой-нибудь прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.

9) Теорема.

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости , то эти плоскости параллельны. Если а ∥ а₁ и b ∥ b₁, то α ∥ β.

Свойства параллельных плоскостей

Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.

Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.

Пространственные фигуры мы изображаем на плоскости (на бумаге, доске и пр.), используя параллельное проектирование. Для этого задаемся некоторой прямой (направлением) l и из каждой точки М пространственной фигуры проводим прямые МN параллельно l до пересечения с плоскостью чертежа (бумаги). Поскольку проектировать все точки фигуры невозможно, мы ограничимся проектированием отрезков (отрезки проектируются в отрезки), для чего достаточно проектировать их копны (рис. 57).

1. Прямолинейные отрезки фигуры изображаются на плоскости чертежа отрезками. Прямые MN, PR и QS параллельны, а значит, они лежат в одной плоскости, поэтому MQ проектируется в отрезок NS (пересечение двух плоскостей).

2. Параллельные отрезки фигуры изображаются на плоскости чертежа параллельными отрезками.

Если АB || МР, то их проекции А₁В₁ и NR также параллельны, так как они являются пересечениями параллельных плоскостей, проходящих через АА₁,ВВ₁ и MN, PR, соответственно с плоскостью о.

3. Отношение отрезков одной прямой пли параллельных прямых мри параллельном проектировании сохраняется.

Если А, B и С — три точки па фигуре, а А₁, В₁, С₁ — соответственно их проекции, то

10) Определение Прямая, пересекающая плоскость, называетсяперпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой, которая лежит в данной плоскости и проходит через точку пересечения.

ПРИЗНАК ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ. Если прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна двум прямым в этой плоскости, проходящим через точку пересечения данной прямой и плоскости, то она перпендикулярна плоскости.

11) Перпендикуляром, опущенным из данной точки на данную плоскость, называется отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости и лежащий на прямой, перпендикулярной плоскости.

Конец этого отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием перпендикуляра.

Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.

Наклонной, проведенной из данной точки к данной плоскости, называется любой отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости, не являющийся перпендикуляром к плоскости.

Конец отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием наклонной.

Отрезок, соединяющий основания перпендикуляра и наклонной, проведенных из одной и той же точки, называется проекцией наклонной.