Истемы регрессионных (одновременных) уравнений.
При статистическом моделировании экономических ситуаций часто необходимо построение систем уравнений, когда одни и те же переменные в различных регрессионных уравнениях могут одновременно выступать, с одной стороны, в роли результирующих, объясняемых переменных, а с другой стороны - в роли объясняющих переменных. Такие системы уравнений принято называть системами одновременных уравнений. При этом в соотношения могут входить переменные, относящиеся не только к текущему периоду t, но и к предшествующим периодам. Такие переменные называются лаговыми. Переменные за предшествующие годы обычно выступают в качестве объясняющих переменных.
В качестве иллюстрации приведем пример из экономики. Рассмотрим модель спроса и предложения. Как известно, спрос D на некоторый продукт зависит от его цены р. От этого же параметра, но с противоположным по знаку коэффициентом, зависит и предложение этого продукта. Силы рыночного механизма формируют цену таким образом, что спрос и предложение уравниваются. Нам нужно построить модель описанной ситуации. Для этого имеются данные об уровне равновесных цен и спросе (который равен предложению). Представленную ситуацию можно формализовать в виде следующей линейной модели:
(3.1)
спрос пропорционален цене с коэффициентом пропорциональности a1<0, т.е. связь отрицательная;
(3.2)
предложение пропорционально цене с коэффициентом пропорциональности а2>0, т.е. связь положительная;
(3.3)
Здесь еl, е'l\, (l=1,...,n) - ошибки модели, имеющие нулевое математическое ожидание.
Первые два из представленных уравнений, если их рассматривать отдельно, могут показаться вполне обычными. Мы можем определить коэффициенты регрессии для каждого из этих уравнений. Но в этом случае остается открытым вопрос о равенстве спроса и предложения, т.е. может не выполняться третье равенство, в котором спрос выступает в качестве зависимой переменной. Поэтому расчет параметров отдельных уравнений в такой ситуации теряет смысл.
Структурная и приведенная формы модели.
Система совместных, одновременных уравнений 9или структурная форма модели) обычно содержит эндогенные и экзогенные переменные.
Эндогенные переменные y – это зависимые переменные, число которых равно числу уравнений в системе.
Экзогенные переменные x – предопределенные переменные, влияющие на эндогенные переменные, но не зависящие от них.
Простейшая
структурная форма имеет вид:
где y – эндогенные переменные, x – экзогенные переменные.
Классификация переменные на эндогенные и экзогенные зависит от теоретической концепции принятой модели.
Структурная форма модели позволяет увидеть влияние изменений любой экзогенной переменной на значения эндогенной переменной. Целесообразно в качестве экзогенных переменные выбирать такие, которые могут быть объектом регулирования. Меняя их и управляя ими, можно заранее иметь целевые значения эндогенных переменных.
Структурная форма модели в правой части модель содержит коэффициенты, которые называются структурными коэффициентами модели.
Все
переменные модели выражены в отклонениях
от среднего уровня, т.е. под х подразумевается
– 
,
а под y –
соответственно 
.
Поэтому свободный член в каждом уравнении
системы отсутствует.
Использование МНК для оценивания структурных коэффициентов модели дает смещенные и несостоятельные оценки. Поэтому обычно для определения структурных коэффициентов модели структурная форма модели преобразуется в приведенную форму модели.
Приведенная форма – система линейных функций эндогенных переменных от экзогенных.
|
|
|
|
где 
коэффициенты
приведенной формы модели –
нелинейные функции коэффициентов
структурной формы модели.
По
своему виду приведенная форма модели
ничем не отличается от системы независимых
уравнений, параметры которой оцениваются
традиционным МНК. Применяя МНК, можно
оценить 
,
а затем оценить значения эндогенных
переменных через экзогенные.