Геометрія

Майбутні вчителі повинні володіти принципами групової і структурної побудови геометрії, аксіоматичним методом; повинні мати загальні уявлення про геометрію Лобачевского, багатовимірної геометрії афінного і евклідового просторів; використовувати знання топології для означення ліній, поверхонь, поверхонь з межею, геометричного тіла тощо. Студенти повинні мати досить широкий погляд на геометрію і бути готовими до викладання елементарної геометрії, незалежно від того, на якій аксіоматиці вона побудована, тобто за будь-яким посібником.

Зміст програми.

Різні види систем координат на площині, їх основні задачі. Геометричний зміст координат точки. Теорія прямих на площині (в аналітичному викладі).

Лінія (крива), різні способи її задання. Класифікація алгебраїчних кривих другого порядку на евклідовій площині.

Суть метода координат. Різні види систем координат у просторі. Геометричний зміст координат точки. Теорія площин у просторі (в аналітичному викладі).

Елементи векторної алгебри о тривимірному евклідовому просторі. Скалярний, векторний, мішаний добутки векторів.

Аналітичні умови задання прямої у просторі; взаємне розміщення двох прямих, прямої і площини, двох прямих у просторі; кут між площинами, прямими, прямою і площиною (в аналітичному викладі).

Поверхні обертання, еліпсоїди, гіперболоїди, параболоїди (в аналітичному викладі).

Циліндричні та конічні поверхні (в аналітичному викладі).

Група рухів (переміщення) площини. Рухи першого роду, їх аналітичний запас і класифікація.

Група перетворень подібності площини і її підгрупи. Застосування перетворень подібності до розв‘язання задач.

Група афінних перетворень площини і її підгрупи. Застосування афінних перетворень до розв‘язання задач.

Група проективних перетворень їх аналітичний запис, основні підгрупи. Застосування властивостей проективних перетворень до розв‘язання задач на побудову.

Загальні питання аксіоматики (суть сучасного аксіоматичного методу побудови математичної теорії. Поняття про математичну структуру. Ізоморфізми, інтерпретації і моделі математичних структур. Вимоги до системи аксіом і перевірка їх виконання. Приклади).

Система аксіом Вейля. Деякі поняття евклідової геометрії в системі Вейля (“лежати між”), відрізок, промінь, пряма, площина, взаємне розміщення прямих, площин, прямої і площини та ін. Доведення деяких теорем. Поняття векторного, n-вимірного, евклідового, афінного просторів.

Доведення несперечливості і повноти аксіоматики Вейля.

Система аксіом Гільберта для обґрунтування евклідової геометрії та найпростіші наслідки з неї. Абсолютна геометрія.

Огляд теорії вимірювання (довжин відрізків, площ многокутників, об‘ємів многогранників).

Рівновеликість і рівноскладенність многокутників. Теорема Больяі-Гервіна.

Аксіома паралельності і площина Лобачевського. Основні наслідки з аксіоми паралельності Лобачевського. Несуперечливість систем аксіом площини Лобачевського.

Взаємне розміщення прямих на площині Лобачевського. Властивості паралельних і розбіжних прямих.

Многогранники в евклідовому просторі. Правильні многогранники та їх класифікація.

Топологічний простір. Гомеоморфні відображення. Топологічний многовид. Приклади. Топологічні властивості листа Мьобіуса.

Геометричні побудови на площині. система постулатів побудов за допомогою циркуля і лінійки. Найпростіші, основні побудови у шкільному курсі геометрії.

Зображення плоских і просторових фігур у паралельній проекції. Позиційні і метричні задачі. Приклади.

Гладкі криві. Кривина та скрут кривої. Формули Френе. Особливі точки плоских кривих.