10. Дифракция Френеля. Метод зон Френеля. Дифракция на круглых отверстиях и экранах.

Дифра́кция Френе́ля — дифракционная картина, которая наблюдается на небольшом расстоянии от препятствия, по условиям, когда основной вклад в интерференционную картину дают границы экрана.

Метод зон Френеля Френель предложил метод разбиения фронта волны на кольцевые зоны, который впоследствии получил название метод зон Френеля.

Пусть от источника света S распространяется монохроматическая сферическая волна, P - точка наблюдения. Через точку O проходит сферическая волновая поверхность. Она симметрична относительно прямой SP.

Разобьем эту поверхность на кольцевые зоны I, II, III и т.д. так, чтобы расстояния от краев зоны до точки P отличались на l/2 - половину длины световой волны. Это разбиение было предложено O. Френелем и зоны называют зонами Френеля.

Возьмем произвольную точку 1 в первой зоне Френеля. В зоне II найдется, в силу правила построения зон, такая соответствующая ей точка, что разность хода лучей, идущих в точку P от точек 1 и 2 будет равна l/2. Вследствие этого колебания от точек 1 и 2 погасят друг друга в точке P.

Из геометрических соображениях следует, что при не очень больших номерах зон их площади примерно одинаковы. Значит каждой точке первой зоны найдется соответствующая ей точка во второй, колебания которых погасят друг друга. Амплитуда результирующего колебания, приходящего в точку P от зоны с номером m, уменьшается с ростом m, т.е.

Любые препятствия, находящиеся на пути распространения световой волны, будут закрывать часть зон Френеля на падающем на них волновом фронте. Поэтому интенсивность прошедшего через них света можно определить, суммируя вклад оставшихся открытыми зон Френеля.

Если радиус отверстия окажется равным радиусу  четной зоны Френеля для точки P , т.е.  , то вклады четного числа зон компенсируют друг друга, и в точке  P  освещенность будет  минимальна  ( ).  Если же в отверстии  окажется нечетное число зон Френеля, то освещенность в точке  P  максимальна :  - в 4 раза больше, чем при отсутствии препятствия!

Пусть теперь препятствие (диск) закрывает первые m зон Френеля, тогда для точки Pэкрана остаются открытыми все остальные зоны, и освещенность в центре экрана  по-прежнему не равна нулю:   .

Все это и объясняет парадоксальные результаты опытов Френеля.

Зонная пластинка. Каким-либо образом, например, лучом лазера, на стеклянной пластинке делаются непрозрачными все четные зоны Френеля (конечно, для какой-то определенной точки наблюдения P). Тогда свет проходит через оставшиеся нечетные зоны "в фазе", и поэтому освещенность в точке P возрастает до значения   , где N - число зачерненных четных зон Френеля. Такая зонная пластин - ка  «фокусирует» лучи в точке P , т.е. может служить в качестве хорошей линзы, причем – широкофокусной!

11. Дифракция Фраунгофера на узкой щели.

 

Пусть плоская монохроматическая волна падает нормально на щель шириной а. Когерентные вторичные волны распространяются от нее по всем направлениям. Результат их интерференции можно наблюдать на экране Э, расположенном в фокальной плоскости (рис 3) линзы Л.

Оптическая разность хода волн, идущих от краев щели в произвольном направлении  , равна

 

.                                       (1.9)

 

После прохождения через линзу Л они собираются на экране в точке Р и интерферируют. Для выяснения вида интерференционной картины разобьем открытую поверхность волнового фронта АВ на зоны Френеля (разность хода от краев соседних зон равна  ), параллельные краям щели. Всего на ширине  щели уместится

 

   зон.                               (1.10)

Так как на щель падает плоская волна, то площади всех зон одинаковы,  значит, одинакова амплитуда колебаний, возбуждаемых в точке Р действием каждой зоны Френеля, а фазы колебаний, создаваемых соседними зонами, противоположны. Следовательно, колебания каждой пары соседних зон будут гасить друг друга.

Поэтому, если на ширине щели укладывается четное число зон Френеля, то амплитуда результирующего колебания в точке Р равна 0 и наблюдается минимум интенсивности света.

Из (1.10) следует условие образования дифракционного минимума:

 

 (k=1,2,…)                      (1.11)

 

Дифракционный максимум возникает при нечетном числе зон Френеля, укладывающихся на ширине щели

 

 (k=1,2,…),                       (1.12)

 

где k определяет порядок дифракции.

В этом случае действие щели эквивалентно действию одной зоны Френеля, поскольку действие остальных пар зон взаимно компенсируется.

Волны, распространяющиеся от щели в прямом направлении ( , возбуждают в точке О экрана колебания, усиливающие друг друга, т.к. все они приходят в одинаковой фазе ( ). В этой точке возникает самый интенсивный центральный дифракционный максимум (k=0).

Итак, волны, дифрагирующие от щели под углами, соответствующими нечетному числу зон Френеля, создают на экране максимумы интенсивности света, а волны, дифрагирующие под углами, соответствующими четному числу зон Френеля, - минимумы.

В целом дифракционная картина, возникающая при прохождении монохроматического света через узкую щель, имеет вид чередующихся светлых и темных полос, симметрично расположенных по обе стороны от центральной светлой полосы.

Выражение (1.11) позволяет найти угловое положение первого минимума (k=1) (рис.4).

 

,                                    (1.13)

 

а минимальное число полос определяется требованием

 

,  .                                  (1.14)

 

Из выражений (1.13) и (1.14) следует, что сужение щели приводит к тому, что центральный максимум расплывается (яркость уменьшается).

Это относится и к другим максимумам, картина становится менее четкой. При   минимумы вообще не возникают, интенсивность света монотонно убывает от середины картины к ее краям. Наоборот, чем шире щель ( ), тем картина ярче, дифракционные полосы уже, а число полос больше. При   в центре получается яркое изображение щели, т.е. имеет место прямолинейное распространение света.