Глава 1 предварительные сведения

§ 1.1. Определения и основные свойства

интегралов различных видов (краткий обзор)

1. Пусть в области на плоскости или в пространстве или на криволинейной поверхности (рис. 1) задана функция .

y a b x Рис. 1.1

z 0 y x Рис. 1.2

z 0 y x Рис. 1.3

Выполним следующее построение. Разделим область на час- ти с мерами (площадями или объемами) , на каждой части выберем по точке и составим сумму

. (1.1)

Обозначим наибольший из диаметров частей (диаметром множества называется наибольшее расстояние между точками множества). Предел суммы (1.1) при условии называется интегралом (соответственно двойным, тройным и поверхностным) от функции по области и обозначается :

.

Если функция непрерывна в области , включая точки границы, то этот предел существует. Основные свойства интеграла:

1. свойство линейности:

;

2. свойство аддитивности: если область разделена на части , то

.

Другие обозначения интегралов: – для двойного и поверхностного, – для тройного. Будем употреблять термины: – элемент площади, – элемент объема. Вычисление двойного интеграла сводится к повторному интегрированию:

,

где – проекция области на ось абсцисс, и – уравнения нижней и верхней границ области . Тройной интеграл приводится к двойному по формуле

,

где – проекция области на плоскость xOy, и – уравнения нижней и верхней границ области . Если поверхность задается уравнением , где функция имеет непрерывные частные производные , то интеграл по поверхности приводится к двойному интегралу по формуле

,

где – проекция поверхности на плоскость xOy.

2. Пусть на кривой АВ (рис. 2) задана функция f(M). Впишем в кривую ломаную .

z … B A y x Рис. 2

Рис. 3

Обозначим длины звеньев и составим сумму

.

Предел этой суммы при условии , где – наибольшая из длин звеньев, называется криволинейным интегралом первого рода от функции f(M) по кривой АВ и обозначается :

.

Если кривая АВ задается параметрическими уравнениями

, (1.2)

где правые части имеют непрерывные производные, то имеет место формула

.

3. Пусть на кривой АВ задана вектор-функция . Впишем в кривую АВ ломаную, как в п. 2, и будем рассматривать звенья ломаной как векторы: (рис. 3). Обозначим скалярное произведение векторов :

.

Составим сумму .

Предел этой суммы при условии называется криволинейным интегралом второго рода от вектор-функции по кривой АВ и обозначается :

.

Обозначим проекции векторов на оси координат. В силу правила векторной алгебры скалярное произведение векторов равно сумме произведений одноименных проекций на координатные оси, поэтому

.

Интеграл по кривой с уравнениями (1.2) вычисляется по формуле

,

где P, Q, R вычисляются в точке . Если кривая АВ лежит в плоскости xOy, то

.

Для криволинейных интегралов первого и второго рода верны свойства линейности и аддитивности. Кроме того, при изменении направления на кривой АВ интеграл первого рода не изменяется, интеграл второго рода меняет знак на противоположный:

.

Интеграл второго рода по замкнутой кривой L (конец В совпадает с началом А) обозначается ; при этом необходимо

указать на кривой направление, по которому берется интеграл.