1. Математическое описание объектов регулирования [1 4]

   1. Основные характеристики и свойства объектов регулирования

Объект регулирования может находиться в одном из двух состояний: статике или динамике.

Статикой называется установившийся режим, в котором входные и выходные величины объекта постоянны во времени. (Это определение справедливо для устойчивых (статических) объектов).

Динамика – это изменение во времени выходной переменной объекта вследствие изменения входной переменной или ненулевых начальных условий.

Статические характеристики объектов регулирования

Поведение объекта регулирования в статике характеризуется статической характеристикой «вход-выход», представляющей зависимость между установившимися значениями выходной и входной переменных:

По виду статических характеристик различают линейные и нелинейные объекты. Статическая характеристика линейного объекта представляет прямую, проходящую через начало координат с уравнением

(Характеристику с уравнением , не проходящую через начало координат, можно свести к линейной, обозначив .)

Объекты, статические характеристики которых отличаются от прямой, являются нелинейными.

Тангенс угла наклона статической характеристики , равный производной выходной переменной по входной, называется статическим коэффициентом передачи объекта:

Коэффициент К имеет размерность: единиц выходной переменной на единицу входного воздействия. Физический смысл: изменение регулируемой переменной на единицу входного воздействия, т.е. коэффициент передачи характеризует крутизну статической характеристики.

Для линейных объектов К=у/x – константа, для нелинейных К есть функция х.

При расчёте АСР нелинейные характеристики обычно линеаризуют. Широкое применение находит линеаризация касательной (линейным приближением разложения в ряд Тейлора). Пусть х₀ , у₀ – точка, в окрестности которой линеаризуется функция y= f(x). Считая

находим (1)

При использовании линеаризованного уравнения (1) следует учитывать, что точность линеаризации уменьшается с ростом величины приращения , поэтому линеаризация касательной справедлива лишь в достаточно малой окрестности точки х₀. Кроме того, поскольку в выражение (1) входит производная функции f(x), данный способ линеаризации пригоден лишь для дифференцируемых функций.

Динамические характеристики объектов регулирования. Дифференциальное уравнение

Основной динамической характеристикой объектов регулирования является дифференциальное уравнение. Объекты могут описываться дифференциальными уравнениями двух типов: обыкновенными дифференциальными уравнениями и дифференциальными уравнениями в частных производных. Обыкновенные дифференциальные уравнения описывают объекты с сосредоточенными параметрами, которые условно можно считать емкостями с идеальным (мгновенным) перемешиванием. Переменные в таких объектах зависят только от времени и не зависят от координат точки измерения переменной.

Уравнения в частных производных описывают объекты с распределёнными параметрами (физически это обычно аппараты, у которых одна из координат много больше остальных, например, теплообменник «труба в трубе», аппараты колонного типа и т.п.). В таких объектах значения переменных зависят не только от времени, но и координат точки измерения переменных, поэтому в дифференциальные уравнения входят не только производные по времени, но и по координатам. Обычно при расчётах уравнения в частных производных аппроксимируют системой обыкновенных дифференциальных уравнений.

В дальнейшем будем рассматривать объекты, описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями вида:

(2)

где n – порядок левой части и всего уравнения в целом,

m – порядок правой части.

Поскольку реальные объекты регулирования представляют инерционные звенья, всегда m<n.

Для уменьшения числа коэффициентов левую и правую части дифференциального уравнения можно разделить на один из коэффициентов (например, а₀) и, таким образом, считать его равным единице.

В статике уравнение (2) принимает вид

,

следовательно, коэффициент b₀ равен статическому коэффициенту передачи объекта.

Передаточная функция

Действия над дифференциальными уравнениями упрощаются при использовании преобразования Лапласа. Кроме того, преобразование Лапласа позволяет ввести понятие передаточной функции.

Смысл преобразования Лапласа заключается в том, что функции x(t) вещественной переменной t ставится в соответствие функция x(p) комплексной переменной .

x(t) называется оригиналом, x(p) –изображением по Лапласу. Операция преобразования по Лапласу записывается следующим образом:

L – интегральный оператор Лапласа, определяемый следующим образом

(3)

Основные свойства преобразования Лапласа

1. Запаздыванию аргумента на соответствует умножение изображения на (теорема смещения оригинала), т.е.

(4)

Это свойство позволяет находить изображения дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом.

2. Дифференцированию оригинала при нулевых начальных условиях соответствует умножение изображения на р:

поэтому формально переменную р можно считать символом дифференцирования. В статике р=0.

В общем случае

(5)

Поскольку интегрирование есть действие обратное дифференцированию, интегрированию оригинала соответствует деление изображения на р:

Свойство (5) позволяет записать изображение по Лапласу дифференциального уравнения (2):

Таким образом, изображение по Лапласу дифференциального уравнения (2) представляет алгебраическое выражение, которое можно разрешить относительно изображения выходной переменной у(р), а затем снова перейти от изображения к оригиналу. Эта операция называется обратным преобразованием Лапласа и обозначается оператором :

Обратное преобразование Лапласа определяется интегралом

Для облегчения нахождения изображения по оригиналу и оригинала по изображению составлены таблицы соответствия между оригиналами и их изображениями для простейших функций. (Эти таблицы приводятся в руководствах по преобразованию Лапласа и в учебниках по теории управления). Для нахождения оригиналов сложных изображений пользуются формулой разложения изображения на простые дроби. (см п.6.3.).

Отношение изображения по Лапласу выходной переменной к изображению входной переменной при нулевых начальных условиях называется передаточной функцией

или, поскольку , передаточную функцию можно записать в виде:

(6)

где А(р) и В(р) - полиномы от р порядков n и m соответственно.

Какая же связь между передаточной функцией и статическим коэффициентом передачи?

Передаточная функция – это динамическая характеристика, коэффициент передачи – статическая характеристика. Статика (покой) есть частный случай динамики (движения). Следовательно, К есть частный случай W(p) в статике. Поскольку в статике р=0, то

Временные характеристики

Временной характеристикой объекта называется его реакция на типовой апериодический сигнал. В качестве входных сигналов чаще всего используют ступенчатую функцию или её производную - - функцию. Реакция объекта или любого динамического звена на ступенчатую функцию единичной амплитуды (единичную ступенчатую функцию) называется переходной характеристикой объекта (звена) h(t). Реакцию объекта на ступеньку произвольной амплитуды х₀ называют кривой разгона объекта (рис.4). Для получения переходной характеристики из кривой разгона у(t) следует разделить каждую ординату кривой разгона на амплитуду ступеньки:

Реакция объекта на функцию (в реальных условиях на импульс конечной длительности и амплитуды, например, прямоугольный) называется импульсной характеристикой (весовой функцией) объекта управления (рис. 5).

Частотные характеристики

Определяют поведение объекта в частотной области при подаче на его вход гармонического сигнала:

где - круговая частота сигнала, f - частота, T - период повторения сигнала, х_max –амплитуда сигнала.

На выходе линейного объекта также возникают гармонические колебания той же частоты, но с другой амплитудой и фазой (рис. 6):

Значения y_max и зависят от частоты входного сигнала. Поскольку нас интересует изменение сразу двух величин – амплитуды и фазы, частотные характеристики удобно рассматривать в комплексной плоскости. Гармонический входной сигнал изображается на комплексной плоскости вектором , длина (модуль) которого равен амплитуде х_max, а угол наклона (аргумент) равен фазе колебаний (рис. 7):

(Символ в данном случае означает «изображается»).

Аналогично выходной сигнал объекта y(t) изображается в комплексной плоскости вектором :

Изображения и называются изображениями по Фурье (спектрами Фурье) гармонических сигналов x(t) и y(t).

Отношение изображений Фурье выходного гармонического сигнала к входному называется частотной передаточной функцией (ЧПФ) или комплексной частотной характеристикой :

Модуль частотной передаточной функции на частоте определяет коэффициент передачи объекта на данной частоте, - сдвиг по фазе между выходным и входным сигналами на частоте .

Передаточная функция есть функция комплексной переменной . Частотная передаточная функция есть функция мнимой переменной . Следовательно, частотная передаточная функция есть частный случай передаточной функции, когда переменная р принимает чисто мнимое значение . Поэтому формально выражение для частотной передаточной можно найти, заменяя в передаточной функции переменную р на , т.е. полагая :

В чём же разница между передаточной функцией и частотной передаточной функцией?

Передаточная функция отражает поведение объекта регулирования или любого динамического звена в динамике при произвольной форме входного воздействия. Частотная передаточная функция отражает поведение объекта (звена) лишь в установившемся режиме гармонических колебаний. Таким образом, частотная передаточная функция есть частный случай передаточной функции (так же, как мнимая переменная есть частный случай комплексной переменной р).

Частотную передаточную функцию записывают в алгебраической форме (декартовых координатах):

либо в показательной форме (полярных координатах):

Годограф вектора (график, описываемый концом вектора при изменении частоты от о до ) называется амплитудно-фазовой характеристикой (АФХ). АФХ показывает, как изменяются отношения амплитуд и сдвиг по фазе между выходным и входным сигналами при изменении частоты входного сигнала (рис. 8).

Зависимости отношения амплитуд выходного и входного сигналов и сдвига по фазе между выходным и входным сигналами от частоты называются амплитудно-частотной (АЧХ) и фазо-частотной (ФЧХ) характеристиками соответственно (рис. 9). АФХ содержит такую же информацию об объекте (звене), как АЧХ и ФЧХ вместе взятые.

Основные свойства объектов регулирования.

Нагрузка

Нагрузка – количество вещества или энергии, отбираемое в процессе работы от объекта регулирования. Изменение нагрузки, как правило, является основным возмущающим воздействием в системе регулирования, т.к. приводит к нарушению равновесия между притоком и стоком вещества (энергии) в объекте, что вызывает изменение регулируемой переменной (например, уровня жидкости в ёмкости (рис. 10))

Кроме того, изменение нагрузки приводит к изменению динамических характеристик объекта. Например, в ёмкости с идеальным перемешиванием (рис.10) постоянная времени равна отношению объёма жидкости, запасённой ёмкостью, к нагрузке, т.е. постоянная времени этого объекта обратно пропорциональна нагрузке.

Ёмкость

Ёмкость- количество вещества (энергии), которое способен накопить объект. Ёмкость характеризует инерционность объекта регулирования.

Объекты регулирования могут быть одно- и многоемкостными. Многоемкостные объекты состоят из двух и более емкостей, разделённых переходными сопротивлениями. Количество емкостей определяет порядок дифференциального уравнения объекта. Например, ёмкость с жидкостью на рис. 10 относится к числу одноёмкостных объектов. Примером трёхемкостного объекта является кожухо-трубчатый теплообменник на рис. 2, в котором нагреваемая жидкость получает тепло через стенки трубок от теплоносителя. Первая ёмкость – количество тепла в нагреваемой жидкости в межтрубном пространстве. Вторая ёмкость – количество тепла в теплоносителе внутри трубок. Третья ёмкость – количество тепла в стенках труб (эта ёмкость обычно мала по сравнению с остальными, и ею пренебрегают).

Самовыравнивание

Самовыравнивание – способность объекта восстанавливать равновесие между притоком и стоком вещества (энергии) за счёт изменения регулируемой переменной вследствие внутренней отрицательной обратной связи в объекте регулирования. Например, в ёмкости со свободным сливом (рис. 10) при увеличении притока увеличивается уровень и за счёт этого увеличивается сток до тех пор, пока равновесие между притоком и стоком не восстановится. Чем больше величина самовыравнивания, тем меньше под действием возмущений отклоняется регулируемая переменная. Таким образом, самовыравнивание облегчает работу автоматического регулятора.

В зависимости от величины самовыравнивания объекты регулирования можно разделить на объекты с положительным, нулевым и отрицательным самовыравниванием.

С динамической точки зрения объекты с положительным самовыравниванием являются устойчивыми инерционными звеньями. Их переходные характеристики заканчиваются в установившемся режиме участком, на котором регулируемая переменная приходит в состояние покоя и перестаёт изменяться (рис. 11, кривая 1).

Количественно величина самовыравнивания характеризуется коэффициентом самовыравнивания , представляющем модуль величины обратной статическому коэффициенту передачи объекта:

Коэффициент самовыравнивания показывает, на сколько должна измениться входная переменная объекта для того, чтобы выход изменился на единицу.

Линейные объекты обладают постоянным самовыравниванием , нелинейные – переменным .

К объектам, не обладающим самовыравниванием (объектам с нулевым самовыравниванием), относятся так называемые нейтральные или астатические объекты, представляющие с динамической точки зрения интегрирующие звенья. Изменения регулируемой переменной в таких объектах могут быть сколь угодно большими. Примером нейтрального объекта является ёмкость с принудительным сливом (рис. 12). Здесь при уровень растёт до переполнения ёмкости или падает до нуля.

Рис. 12.

При равенстве между притоком и стоком такой объект может находиться в равновесии при любом значении регулируемой переменной, поэтому и называется нейтральным или астатическим.

Установившийся участок переходной характеристики астатического объекта представляет прямую, на которой регулируемая переменная изменяется с постоянной скоростью (кривая 2 на рис. 11).

Уравнение идеального интегрирующего звена

откуда

Параметр К_а, характеризующий объекты с нулевым самовыравниванием, называется приведённой скоростью разгона нейтрального объекта и имеет смысл скорости изменения регулируемой переменной, приходящейся на единицу входного воздействия.

Существуют объекты, в которых при определённых условиях возникает неуправляемый процесс. В этих объектах скорость изменения регулируемой переменной в переходном процессе имеет тенденцию к самонарастанию (кривая 3 на рис. 11). Такие объекты называют объектами с отрицательным самовыравниванием.

С динамической точки зрения они являются неустойчивыми звеньями. Для нейтральных и неустойчивых объектов .

Запаздывание

Запаздывание – промежуток времени от момента нанесения возмущения до начала изменения регулируемой переменной. Различают чистое и ёмкостное запаздывание.

Чистое (транспортное) запаздывание - время, которое поток вещества (энергии) затрачивает на прохождение расстояния от точки нанесения возмущения до точки измерения регулируемой переменной в одноёмкостном объекте. Примером звена с чистым запаздыванием является ленточный питатель (транспортёр) (рис. 13).

Время чистого запаздывания равно отношению длины активного участка конвейерной ленты к линейной скорости ленты V:

В многоемкостных объектах несколько емкостей соединены последовательно, что вызывает замедление перетока вещества (энергии) из одной ёмкости в другую и приводит к возникновению емкостного запаздывания. На рис.14 показаны переходные характеристики одно – (n=1), двух - (n=2), и многоемкостных (n=m) объектов. При числе емкостей n>1 в переходной характеристике появляется точка перегиба П. С ростом n начальный участок переходной характеристики всё больше тяготеет к оси абсцисс, в результате чего и образуется емкостное запаздывание .

Между чистым и емкостным запаздываниями существует принципиальное различие. При чистом запаздывании регулируемая переменная равна нулю на протяжении всего времени запаздывания. При емкостном запаздывании она изменяется, хотя и очень мало. Во временной области транспортное и емкостное запаздывание проявляются приблизительно одинаково, а в частотной области поведение этих звеньев существенно различается.

Реальные объекты обычно содержат оба типа запаздывания, в результате чего общее запаздывание равно их сумме:

Отделить на экспериментальной характеристике емкостное запаздывание от чистого практически невозможно. Поэтому, если чистое запаздывание определяется по экспериментальной кривой разгона, его величина всегда субъективна, т.е. зависит от исследователя.

Запаздывание резко ухудшает качество регулирования в АСР.