Глава 8

Порядок, работы I -i-9-г-т

1. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЯХ

В процессе работы двигателя на кривошипах коленчатого вала действуют периодически изменяющиеся крутящие моменты, сдвину- тые по фазе в соответствии с порядком работы цилиндров (рис. 8.1).

Вследствие этого в конструкции вала возникают переменные деформации кручения, вызывающие в нем, как и во всякой упругой системе, появление упругих восстанавливающих моментов. Так как при работе двигателя соотношения между возбуждающими и вос- станавливающими моме-

нтами, действующими на отдельных участках вала, циклически меняются, то его колена и связанные с ними элементы соверша- ют в плоскости вращения периодические угловые знакопеременные смеще- ния, называемые крутиль- ными колебаниями. Как и для всяких вынужденных колебаний, их характер определяется колебатель- ными характеристиками крутильной системы и ха- рактером изменения по времени возбуждающих ее крутящих моментов.

Основной характерис- тикой упругой крутиль- ной системы вала являет- ся совокупность частот его собственных колеба- ний и соответствующих

Рве. 8.1. Схема нагружения коленчатого вала переменными моментам*

152

'Строго говоря, амплитуда резонансных колебание зависит тагее от фазовых соотношений между одноименными гармониками, действующими на отдельных кривошипах. Наибольшие амплитуды наблюдаются при совпадения фаз на всех или на значительном количестве (обычно половине) кривошипов.

153

Рис. 8.2. Эквивалентом крутильная система четы­рехцилиндрового линейного двигателя

• гармонический анализ кршши крутящего ломеита;

• определение наиболее опасных (главных) резонирующих гар­моник и критических частот вращения;

• расчет амплитуд вынужденных колебаний на резонансных режимах;

• определение напряжений в конструкции вала при резонансе;

• разработка мероприятий по выводу резонансных режимов из зоны рабочих оборотов двигателя или разработка конструкции демпфера и установка его на двигатель.

2. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЭКВИВАЛЕНТНОЙ КРУТИЛЬНОЙ СИСТЕМЫ

Рассмотрим вывод уравнения движения п массовой эквивалент­ной 1футильной системы, приведенной на рис. 8.3.

Обозначим углы закрутки масс в_и в_ъ ..., в_1у 9„. Обобщен­ными силами, действующими на систему в этом случае, являются крутящие моменты, действующие на отдельные ее массы М_и Мь АГ_Э,М„ М„.

154

о

С/

с„.,

Полная кинетическая

К ,

энергия 7’= 0,5 £ /;0Д /-1

Потенциальная энер- гия рассматриваемой сис-

темы определяется вели- Гл

чинами углов закрутки U U

масс друг относительно

ДРУГа, а также жесткости- ^^>ИС- Эквивалентная крутильная система ми на кручение каждого ^с* обобщенными координатами

из участков вала С[, С_г,

С,-,, С„-,: П = 0,5 £ С (0₍-0лн)².

!■ I

Подставляя найденные значения Г и П, а также величины обоб­щенных сил в уравнение Лагранжа, получают закон движения систе­мы относительно произвольной i-й обобщенной координаты:

I 0,+ С, (в,-е_ш)-с^ (в^-в^М,

Так как система имеет п обобщенных координат, то ее движение описывается системой из и уравнений (г'= 1, 2, 3,и), аналогичных приведенному выше.

Анализ данной системы уравнений показывает, что для соответ­ствия законов движения эквивалентной модели и реальной крутиль­ной системы двигателя необходимо, чтобы:

• каждая ее сосредоточенаая масса имела момент инерции, равный моменту инерции замещаемого участка, и находилась в его центре тяжести;

ф участки валопровода, соединяющие между собой выделенные эквивалентные массы, имели такую же жесткость на кручение, как и соответствующие элементы реального вала.

8.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ЭКВИВАЛЕНТНОЙ КРУТИЛЬНОЙ СИСТЕМЫ

При составлении эквивалентной системы поршневых ДВС диа­метр валопровода принимается равным диаметру коренных шеек коленчатого вала, а массы приводятся к радиусу кривошипа.

При этом обычно выделяют сосредоточенные массы, эквива­лентные массам маховика, каждого колена вала и приводным эле­ментам.

С учетом этого коленчатый вал разбивают на участки (см. рис. 8.2).

На одноименных участках действительного и эквивалентного ва-

^ ^ ^ GJi

лов должно сохраняться условие С,~ С_3/, где С,=— крутильная

It

155

i-го участка эквивалентной системы, МН * м.

Здесь G — модуль сдвига материала, МПа; /₍ и /„ — полярные моменты инерции соответственно вала н эквивалентной системы, м⁴; /, и 4i — длина /-го участка коленчатого вала и приведенной системы, м.

Отсюда может быть определена длина участка эквивалентной

Определение длины участка эквивалентного вала называется приведением длины и является одной из основных задач формирова­ния эквивалентной системы.

Наиболее просто осуществляется приведение длин цилиндричес­ких участков коленчатого вала с неизменным внутренним и наруж- ним диаметрами:

Сложные участки вала при приведении целесообразно разбивать на элементарные, для которых сравнительно просто можно вычис­лить полярный момент инерции.

Угол закручивания сложного участка вала под действием посто­янного по его длине момента в этом случае будет равен сумме углов закрутки отдельных его элементов 6t=6i + &i+...6„ и, по определе-

Отсюда можно определить приведенную длину участка вала,

содержащего элементы любой конфигурации (с учетом того, что

т. е. приведенная длина сложного участка вала равна сумме приве­денных длин его отдельных элементов.

В справочной литературе [8] приведены формулы, позволяющие с использованием эмпирических поправок осуществлять приведение длин элементов коленчатых валов автотракторных двигателей, со­держащих шпонки, шлицы, конические элементы, галтельные пере­ходы и т. д.

шло,

м мм м

₌ ..j- _ -J..j..

с, С, Cj Сз

откуда - (

' ' +/пл 1-2 — г I —— I,

Л™ /_га Б V-W-V

L JL 1

где Е—модуль упругости материала щеки, МПа; /*<*-*) = -—

момент инерции щеки относительно оси х — х, м*.

При практическом использовании эта формула дает большие погрешности, т. к. она не учитывает влияние на жесткость вала гал­телей, перекрытия шеек и некоторых других конструктивных фак­торов. Поэтому расчет приведенной длины колена ведут по различ­ным полуэмпирическнм формулам.

Для автомобильных двигателей наилучшие результаты дает формула С. С. Зиманенко:

Г dL-Sl

+-

Jr

ЬщЬ¹

В справочной литературе приводятся аналогичные зависимости для определения приведенных длин колен других типов двигателей, например формула С. П. Тимошенко и формула В. С. Картера — для авиационных двигателей, формула Зульцера — для стационар­ных двигателей и т. д.

После приведения длин участков валопровода эквивалентной системы необходимо определить моменты инерции сосредоточен­ных ее масс. Для этого на каждом из участков момент инерции деталей относительно оси вала в действительной системе должен быть равен моменту инерции сосредоточенной массы эквивалент­ной модели.

Моменты инерции участков коленчатого вала обычно определя­ют аналитически для деталей, имеющих форму простых геомет­рических тел (шейки вала, шкивы, шестерни и т. д.) и графоанали­тически для элементов сложной конфигурации (щеки, противовесы).

Так, моменты инерции коренных (/„„) и шатунных (/щи) шеек относительно оси коленчатого вала определяются по известным зависимостям, как и для прочих цилиндрических участков вала:

157

JпП /ptir it nr £)•* Jlinn — 3PI tli IT /ftnn P Ч" Д^ДП ^ (^?ШШ ^ИШ ^ .) ^r-.uii ^ -

где /_Ржш и /_Ршш — полярные моменты соответственно коренной и шатунной шеек, м⁴; /_ш и /цщ, — длина хоренной и шатунной шеек, м;

р — плотность материала вала, кг/м³;

F_w — площадь поперечного сечения ша- тунной шейки, м²; г — радиус кривоши- па, м.

Моменты инерции щек и противове- сов, как правило, определяют суммирова- нием моментов инерции элементарных объемов, на которые данный элемент де- лится дугами окружностей с центром на оси вращения вала с разницей в радиусах ARi (рис. 8.4).

Момент инерции такого слоя относительно оси вращения Д/,= =р —А,Л-ЛЛ₍ и соответственно момент инерции всего элемента

i-L

При а, = 360°; во всех других случаях а, <360°. Если цилин­

дрическая поверхность разрезает элемент более чем на две части (efnrn на рис. 8.5), то а_;=а_(]+а;, + а_(>.

Момент инерции кривошипа

Jmtn | Jilt | " IZj-np*

Рис. 8.4. Приведение длины пуки

где 7_Щ — момент инерции щеки, кг м²; п — количество противове- сов на кривошипе; Л_р — момент инерции противовеса, кг• м².

При расчете моментов инерции сосредоточенных масс на участ-

ках эквивалентной системы, замещающей колена вала, необходимо учитывать так- же, что совместно с кривошипом движут- ся и элементы поршневой и шатунной групп.

Часть массы шатуна т^, приведенная к кривошипу, увеличит момент инерции кривошипа на величину Jaa—m^ г².

Величину добавочного момента инер- ции от возвратно-поступательно движу- щихся масс т₎=т_Г!+т_Ш1 определяют по уравнению J_}=m^r², где пъ, — масса, эк- вивалентная ntj. Ее значение находят, при- равнивая кинетические энергии массы т,

Рис. 8.5. Определение моме- элементов КШМ, движущихся со скоро- ита ннерцнн^к и противо- ^ _{поршня и массы nL>p} перемеща-

158

В V-образном двигателе для каждого колена необходимо учиты­вать оба поршня и шатуна, сочлененные с коленом вала.

4. ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ КРУТЯЩИХ МОМЕНТОВ

На каждую «моторную» массу эквивалентной крутильной систе­мы действует возбуждающий момент А/ = Т,г, являющийся перио­дической функцией угла поворота кривошипа. Период его измене­ния — время, за которое реализуется цикл работы двигателя, — равен Т_м=nzjtOy где т — коэффициент тактности.

Обратимся теперь к системе уравнений, описывающей движение эквивалентной крутильной системы. Ее составляют линейные неод­нородные дифференциальные уравнения 2-го порядка. Используя свойства линейности, правую часть представляют в виде суммы простейших функций и затем общее решение находят, суммируя решения уравнений при правой части, равной отдельным слага­емым аппроксимирующего многочлена (принцип суперпозиции).

Рассмотрим возможности представления в виде многочлена воз­буждающих моментов М, действующих на отдельные «моторные» массы. Используя свойство периодичности М, можно аппроксими­ровать его тригонометрическим полиномом («разложить» его в ряд Фурье):

Таким образом, момент инерции колена вала будет равен

Л»=Л+Ли+Л-

М= £ Af.sin (0,5fc<u< + <р*). t-o

Отдельные гармонические составляющие крутящего момента

Л/isin (0,5ш+<р{), M₂sm (со/ + <р₂), A/₍sin ^ a)i + <p}j и т. д. носят

название моторных гармоник различных порядков. Порядок гармо- ники численно равен коэффициенту перед ojt. Так, при к=0 имеем гармонику нулевого порядка (постоянная составляющая), при £= 1 —половинного порядка, при к = 2— первого и т. д. В соот- ветствии с теорией Фурье амплитуда каждой гармоники Л/* и ее начальная фаза (р_к определяются интегралами Коши:

M_k=^/Ai+Bl; <p*=arctg {BJA_ky_p

^u (“ ^k F.') ^d,; J " (” * t') ^d'-

0. 0

Для аналитического определения коэффициентов Фурье (А_к и В_к)

необходимо иметь функцио- нальную зависимость М= =/ (<)■ Существующие мето- ды расчета ДВС не позволя- ют получить в настоящее время уравнение, опясыва-. ющее изменение М по вре-. мени. Поэтому на практике» для вычисления этих коэф- фициентов используют не- аналитически заданные зави- симости А/=/(/) (рис. 8.6). В этом случае А_к и В_к опре- деляются приближенно. Об- щий алгоритм их расчета со- стоит в замене интегралов,

Коши конечными суммами, для чего период Т_ы крутящего момента разбивайся ьа N отдельных участков длиной At. Тогда

Рве. 8.6. Гармонячесгнй анализ крутящего момента, действующего ва «моторную» мас­су

С учетом того, что TJAt = N, получим

что TJAt = N, получим

По аналогий,

Точность расчета величин А_к и В_к тем выше, чем больше коли­чество участков N.

Данный алгоритм сравнительно просто реализуется на совре­менных ЭВМ, вследствие чего применявшиеся ранее табличные спо­собы вычисления А_к и В_к ввиду их трудоемкости в настоящее время потеряли свое практическое значение.

5. ФАЗОВЫЕ ДИАГРАММЫ КРУТЯЩИХ МОМЕНТОВ НА ОТДЕЛЬНЫХ КРИВОШИПАХ

Как показано на рис. 8.1, крутящие моменты, действующие на отдельных кривошипах многоцилиндрового двигателя, одинаковы по форме и величине и отличаются только фазами, величина кото­рых определяется порядком работы двигателя. Вследствие этого будут одинаковыми и аппроксимирующие их тригонометрические многочлены, гармоники одного порядка в которых будут отличать­ся также только сдвигом фазы.

Так как период вращения коленчатого вала Т—2п/<о и период к-а гармоники (к = 0, 1, 2..,) Т_х связаны между собой соотношением

Т = Т_к, то угол сдвига фаз гармоник одного порядка, действу­

ющих на 1-м н i-м кривошипах (A<p)_{L l}, определяется углом поворо­та коленчатого вала между началом рабочего хода в 1-м и i-м ци-

Сдвиги фаз между гармониками одного порядка, действующими на различных кривошипах, принято изображать в виде фазовых диаграмм, в которых векторы амплитуд моментов, действующих на

линдрах 6_{L l}, а также порядком гармоники

(л<гч),

2

т

6-548

161

к-1,7,IJ к--2Л,Ь к--3,9,>S'

Рис. 8.7. Фазовые диаграммы: в — четырытахтвото четыреишляндрового двигателя (цифрами обо­значены номера цилиндров), 6 — четырехтактного шестицаливдрово- го двигателя

отдельных кривошипах, повернуты относительно первого на углы (A<jp*)j..j (рис. 8.7).

Эти диаграммы указывают сдвиг фаз к-х гармоник на всех кривошипах относительно гармоники того же порядка, действу­ющей на первом кривошипе. В соответствии с этим абсолютная величина фазы данной гармоники на ;-м кривошипе будет равна

<рР=<рР-²к(в) 1„„

Т

где — фаза £-й гармоники на первом кривошипе.

Рассмотрим в общем виде, как влияют фазовые соотношения гармоник, действующих на отдельных кривошипах, на амплитуду смешения масс эквивалентной крутильной системы. Для этого запи­шем уравнения движения крутильной системы, подставив в правые части только одну гармонику, имеющую одинаковую амплитуду, но разные фазы для различных «моторных» масс:

162

163

где <p*=

_:i=J

£ A®sm<pf /-1

ffli

./■4

Из полученного выражения следует, что амплитуда колебаний первой массы (по аналогии, этот вывод может быть обобщен на любую массу эквивалентной крутильной системы) при действии на систему одинаковых по амплитуде, но сдвинутых по фазе гармони- ческих силовых факторов, зависит полностью от соотношения фаз. Геометрический смысл этого выражения пояснен на рис. 8.8, а,

откуда следует, что наиболь-

, шего значения амплитуда

достигает прн g>]t^l)=<pr= = ...=</>Jt⁾. В этом случае вид вектора А, и слагающих его векторов будет таким, как он представлен на рис. 8.8, б. Такие гармоники будут на- иболее опасными, так как вызывают наибольшие амп- литуды колебаний системы. Фазовая диаграмма данной гармоники приведена на рис.

7. а при к = 4, 8, 12. Анало- _ ₀_ _ . _ гичный вид будут иметь и

Рис. 8.8. Веггорвые диаграммы (_аД «щл». ^ _другие гармоник*, СДВИГ

164

Л,

&6. СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ КРУТИЛЬНОЙ СИСТЕМЫ

Рассмотрим зависимость амплитуд смещений отдельных масс системы от частоты вынуждающих сил.

В силу линейности системы уравнений, описывающих движение крутильной системы, для качественного анализа зависимости амп­литуды смещения ее элементов от частоты возмущения достаточно рассмотреть характер движения системы при гармоническом воз­действии на «моторные» массы только одной гармоники момен­

та

М—M_I sin ka>t4-Полигармоничность моментов, дей-

ствующих на каждую из них, в этом случае не меняет качественной картины взаимодействия силового фактора с элементами крутиль- ной системы, так как ее движение может быть найдено как суперпо- зиция движений, вызываемых каждой отдельно взятой гармоничес- кой составляющей.

Для простоты изложения предположим, что фазы к-х гармоник моментов, действующих на отдельные колена, одинаковы (т. е. данная гармоника — главная):

А/, = Jlfj М_а-1 — М_Л—М—A/|sin kwt +

Для этого случая движение крутильной системы будет описы­ваться следующей системой уравнений:

| Система п (7=1, 2, 3, ...и),

I ^ + С/ (6j—0i₊1)—Ci-i — &i)—A/* sin kcot+(PkJ.

Решение этой системы:

165

С_я_2^*-2 + (Л-|Л²— C,_2— C„_i)+C*_|^„= — M„

Таким образом, относительно амплитуд смещений отдельных масс крутильной системы A_t решение описывается системой неод­нородных алгебраических уравнений. В соответствии с правилом Крамера любая амплитуда будет равна

. Д«-1 №

Л(^— —,

До (П¹)

где Ао (ft²) — определитель системы алгебраических уравнений при правой части, равной нулю, т. е. при полном отсутствии силовых воздействий на систему, а Д„_, (ft²) получают заменой в До (ft²) i'-го столбца столбцом значений правой части уравнений.

Проанализируем полученный результат. Из написанного в соот­ветствии с правилом Крамера уравнения следует, что при До (П²) = 0 амплитуды колебаний «моторных» масс стремятся к бесконечности. Это означает, что при всех значениях частоты изменения возмуща­ющих моментов ft_t, ft₂, ..., ftfl-ь при которых До (£)²)=0, будет иметь место известное в механике явление резонанса. Частоты fti, ft_:, ..., при которых отмечаются эти явления, носят название собственных частот крутильной системы. По физическому смыслу они

166

8.7. ФОРМЫ КОЛЕБАНИЙ КРУТИЛЬНОЙ СИСТЕМЫ

При отсутствии возмущающих сил, когда крутильная система совершает собственные колебания, амплитуды смещения отдельных «моторных» масс будут неодинаковыми.

Распределение по длине вала амплитуд закрутки отдельных масс крутильной системы называют формой колебаний. Каждой собст­венной частоте крутильных колебаний соответствует своя форма. Так как собственные колебания есть частный случай вынужденных колебаний лри M_z = 0, то по аналогии с решением системы уравне­ний, описывающих вынужденные колебания относительно их амп­литуд (см. § 8.6), можно записать:

— С])

C_e_2j4_n_2+(/»-ift² — C,_2”C„_i)-bC,_₁y4_e — О,

Cn-i-^n-i + (Л^²-С_в_|) = 0.

Отыскать значения амплитуд смещений масс системы в настоящем виде не представляется возможным, так как количество неизвестных (Аи Л₂, ..., Л_я_] и £5) на единицу превышает количество уравнений системы.

Перейдя к относительным амплитудам

Ai А-х А^ /4,_1 А„

fli ——- —I; a-i ——; а^ — —;...; а„_₁ — ; а„ — ,

А\ А1 Л\ А\

мы уменьшаем количество известных на единицу, и система уравне­ний в относительных амплитудах имеет вид

167

C_rt_2<J*-2 + (/*_ 10* — C_e_2 — C„_|) <J„_1 + С_я_1 a* as 0,

С_л_Сд-l) Йл~ 0.

Подстановкой в данную систему алгебраических уравнений од- ного из значений собственных

частот колебаний £i=Q, мето- дом последовательного исклю- чения можно определить отно- сительные амплитуды смеще- ния каждой массы крутильной системы, т. е. соответствую- щую форму ее колебаний. На рис. 8.9 приведены две формы колебании пятимассовой кру- тильной системы, соответству- ющие двум частотам собствен- ных колебаний: низшей — при второй — при ft= Места на валу, где амп- литуды закрутки равны нулю, называют узлами колебаний. Форму колебаний при £1=0,^

(рис. 8.9) называют одноузло-

Рис. 8.9. Первая и вторая формы колеба­ний пятимассовой системы

вой, при — двухузловой и т. д.

&8. ЧАСТОТНАЯ ДИАГРАММА

Сопоставление частот собственных колебаний крутильной систе­мы и частот отдельных гармонических составляющих крутящих моментов во всем рабочем диапазоне частот вращения двигателя позволяет провести качественный анализ крутильных колебаний, т. е. выявить резонансные режимы работы двигателя, порядок и фа­зовую диаграмму резонирующей гармоники, а следовательно, и степень опасности такого резонанса. Становится возможным также определить форму колебаний вала и опасный его участок.

Существенно облегчают определение резонирующих гармоник крутящего момента частотные диаграммы (рис. 8.10), на оси ор­динат которых отложены числа колебаний в минуту (частоты) гармоник крутящего момента а по оси абсцисс — частота вращения коленчатого вала двигателя п, которые связаны между

168