2. Основи динаміки
(2.61.) Сила гравітаційного притягання між двома сталевими кулями становить 5·10-11 Н, а відстань між їхніми центрами – 2 м. Знайдіть об’єми куль, якщо маса однієї кулі у 3 рази більша, ніж іншої.
Дано: F=5·10-11 Н l=2 м m1=3m2
G=6,67·10-11 Н·м2/кг2. V1-? V2-? |
Розв’язок:
Враховуючи, що
Запишемо:
звідки
|
|
сталі=7800
кг/м3
,
,
(м3)
(2.62.) Скільки обертів навколо Землі зробить за 24 години штучний супутник, якщо висота його орбіти 900 км? Добове обертання Землі не враховуйте.
Дано: t=24 год= =86400 с Н=9·105 м п-? |
Розв’язок:
Швидкість визначаємо з рівняння
Остаточно
|
|
.
14
(2.63.) Тіло, яке кинули з поверхні Землі вертикально вгору, піднялось на висоту 25 м. На яку висоту підніметься тіло, якщо його кинути вгору з такою ж самою швидкістю з поверхні Місяця?
Дано: Н1=25 м
Мм=7,35·1022 кг Rм=174·104 м Н2-? |
Розв’язок: З рівняння:
знаходимо
Прискорення вільного падіння на поверхні Місяця gм знаходимо з 2-го закону Ньютона
Для Н2 одержуємо
|
=151,3 (м) |
,
звідки
(2.64.) Хлопчик упустив камінь у колодязь і почув стук від удару каменя об дно колодязя через 5 с. Чому дорівнює глибина колодязя?
Дано: t=5 c
Н-? |
Розв’язок:
де: t1
|
Розв’язок квадратного рівняння дає значення
|
м/с
,
- час падіння каменя;
t2
- час поширення звуку від дна колодязя
до хлопчика. Отже для
визначення Н
одержуємо рівняння
м
(2.65.) У скільки разів перевантаження, що відчуває пілот у нижній точці петлі Несторова, більше, ніж у верхній? Швидкість літака в обох точках становить 360 км/год, радіус петлі 500 м.
Дано:
=100 м/с R=500 м
|
Розв’язок:
|
|
км/год=
?
(2.66.) Камінь кидають зі швидкістю v0 під кутом
до горизонту. Через який час його
швидкість буде становити з горизонтом
кут
і чому буде дорівнювати модуль цієї
швидкості?
Дано:
|
Розв’язок:
Запишемо рівняння для вертикальних і горизонтальних складових початкової і миттєвої швидкостей каменя
За формулою визначення миттєвої швидкості для вертикальної складової запишемо:
|
Остаточно для шуканих величин знаходимо:
|
.
(2.67.) Футболіст забив гол з пенальті (відстань від воріт 11 м). М’яч залетів горизонтально у ворота, висота яких 240 см, ледве торкнувшись верхньої планки. Визначити, під яким кутом до горизонту полетів м’яч після удару.
Дано: s=11 м h=2,4 м
|
Розв’язок:
Час руху м’яча до верхньої планки воріт за горизонтальним переміщенням і визначається за формулами
Прирівнявши праві частини, знаходимо
Для максимальної висоти польоту м’яча запишемо:
Розв’язком системи (1) і (2) рівнянь є:
|
|
-?
,
і
(1)
(2)
(2.68.) Тіло масою 5 кг рухається горизонтально з початковою швидкістю 1 м/с під дією сили 30 Н, що напрямлена під кутом 600 до горизонту. Запишіть рівняння залежності переміщення від часу, якщо коефіцієнт тертя становить 0,1.
Дано: m=5 кг vo=1 м/с F=30 Н =600
x=x(t) |
Розв’язок: В проекції на горизонтальну вісь рівняння руху тіла записується
звідки
підставляючи цей результат в рівняння для рівноприскореного руху, переміщення розрахується як:
|
а=2,5 м/с2
|
=0,1
,
,
(2.69.) Тіло масою 2 кг падає з висоти 5 м і занурюється в сніг на 50 см. Знайдіть середню силу опору снігу, якщо середня сила опору повітря 4 Н.
Дано: m=2 кг h1=5 м h2=0,5 м F1=4 Н F2-? |
Розв’язок: З формули роботи для сили опору снігу
знаходимо:
Остаточно одержуємо:
|
|
(Н)
(2.70.) Електровоз на горизонтальній ділянці шляху розвиває постійну силу тяги 0,345 МН. Визначити силу опору руху електровозу масою 1300 т, якщо на ділянці шляху 300 м його швидкість зросла від 36 км/год до 42 км/год.
Дано: F=345·103 Н m=13·105 кг s=300 м =10 м/с =11,6 м/с Fо - ?
|
Розв’язок: Складаємо систему рівнянь
Розв’язуючи її відносно сили опору, знаходимо:
|
=0,27·106 (Н) |
(1)
(2)
(2.71.) Довжина ствола рушниці 0,6 м. Маса кулі 15 г, а її діаметр 8 мм. Визначити швидкість кулі в момент вильоту із ствола, якщо середній тиск порохових газів у стволі становить 108 Па.
Дано: s=0,6 м m=15·10-3 кг d=8·10-3 м p=108 Па -? |
Розв’язок: З формули шляху, пройденого рівноприскорено кулею в стволі без початкової швидкості
знаходимо
Прискорення визначаємо з 2-го закону Ньютона, записаного для сили, що діє на кулю
Для швидкості одержуємо:
|
=634 (м/с) |
.
де
,
.
(2.72.) Вантаж масою 2 кг, який притиснутий силою 100 Н до вертикальної стіни, рухається вгору з прискоренням 1,5 м/с2. Розрахувати значення сили тяги, якщо коефіцієнт тертя 0,2.
Дано: m=2 кг F=100 H a=1,5 м/с2
FT - ? |
Розв’язок: Запишемо основне рівняння динаміки
В проекціях на вісі координат: На y:
На x:
звідки
|
FТ=2·1,5+0,2·100+2·9,8= =42,6 (Н)
|
(2.73.) Вантаж піднімають з води з прискоренням 0,5 м/с2 за допомогою двох тросів. Кут між тросами 600, видовження кожного з них 2 см, а жорсткість 100 кН/м. Визначити масу вантажу. Опором води та масою тросів можна знехтувати.
Дано: a=0,5 м/с2 =600
k=100 кН/м
m - ? |
Розв’язок: З рівняння 2-го закону Ньютона
де:
об’єми вантажу і води, що він виштовхує однакові, тому
тоді:
Згідно закону збереження енергії:
|
тоді
и остаточно:
=3464 (кг) |
=0,02
м
=7800
кг/м3
=1000
кг/м3
тоді
(2.75.) Тіло масою 2 кг рухається вздовж горизонтальної площини з прискоренням 3 м/с2 під дією двох послідовно з’єднаних пружин з коефіцієнтами жорсткості відповідно 1 кН/м та 2 кН/м. Визначити сумарне видовження цих пружин, якщо коефіцієнт тертя дорівнює 0,2.
Дано: m=2 кг a=3 м/с2 k1=103 Н/м k2=2·103 Н/м =0,2 -?
|
Розв’язок:
З 2-го закону Ньютона для руху вантажу
знаходимо силу, прикладену до кожної пружини
звідки
Остаточно одержуємо:
|
=14,88·10-3 (м) |
,
.
(2.76.) Гусеничний трактор, рушаючи з місця, тягне санний потяг із двох однакових саней. Сила тяги, яку розвиває трактор, дорівнює 20 кН. Маса трактора 5700 кг, а маса кожного з саней 1500 кг. Знайдіть прискорення руху і силу натягу канату, який з’єднує трактор із саньми. Коефіцієнт тертя між полозами саней і снігом дорівнює 0,05, а сила опору рухові трактора 6,5 кН.
Дано: F=2·104 Н m=0,57·104 кг mc=0,15·104 кг Fo=0,65·104 Н =0,05 a-? Fн-? |
Розв’язок: З рівняння 2-го закону Ньютона для руху всього потягу
знаходимо прискорення
З рівняння 2-го закону для руху лише саней
знаходимо силу натягу троса
|
=1,38 (м/с2)
|
.
(2.77.) До стелі ліфта, що рухається вгору з прискоренням 1 м/с2, підвішений нерухомий блок. Через блок перекинуто нерозтяжну мотузку, до кінців якої підвішені гирі масою 2 кг та 3 кг. Визначити, з яким прискоренням рухаються гирі відносно блока та землі. Масами блока та мотузки можна знехтувати, тертя відсутнє.
Дано: a0=1 м/с2 m1=2 кг m2=3 кг a - ? a1 - ? a2 - ? |
Розв’язок: Для прискорення вантажів відносно блоку знаходимо:
Відносно Землі вантажі рухаються з прискореннями:
|
а1=1+1,96=2,96 (м/с2) а2=1,96-1=0,96 (м/с2) |
(м/с2)
(2.78.) Тіло масою m1=6 кг знаходиться на похилій площині з кутом нахилу 300 і коефіцієнтом тертя
=0,2.
З якою силою тягнуть друге тіло масою
m2=4 кг вздовж
площини з коефіцієнтом тертя
=0,3,
якщо друге тіло рівномірно рухається
в напрямі дії цієї сили? Масою та силою
тертя нерухомих блоків можна знехтувати.
Дано: m1=6 кг =300 =0,2 m2=4 кг =0,3 F-? |
Розв’язок: Запишемо рівняння руху для розглядуваної системи тіл
або
|
=51,34 (Н)
|
,
(2.79.) Потяг їде зі швидкістю 54 км/год по закругленій ділянці шляху радіусом 1000 м. Відстань між рейками (по горизонталі) 1,5 м. Наскільки зовнішня рейка повинна бути вищою за внутрішню?
Дано: =15 м/с R=1000 м l=1,5 м h - ? |
Розв’язок: На центр мас потяга діють вага Р і реакція опори зовнішньої рейки N. Векторна сума цих сил повідомляє центру мас в горизонтальній площині нормальне прискорення. За рисунком
звідки
|
|
;
,
(м)
(2.80.) На дисковому конвеєрі, що обертається в горизонтальній площині, на відстані 80 см від вісі обертання лежать деталі. Коефіцієнт тертя між конвеєром і деталями 0,2. Скільки обертів за хвилину може робити конвеєр, щоб деталі не зісковзували з нього?
Дано: R=0,8 м =0,2
|
Розв’язок: З рівняння 2-го закону Ньютона
знаходимо:
звідки
|
|
-?
,
де
=
(2.81.) Маленька кулька, яка підвішена на нитці довжиною 0,5 м, рівномірно обертається у горизонтальній площині. Знайдіть кут, який утворює нитка з вертикаллю, якщо кулька робить 60 обертів за 1 хв.
Дано: l=0,5 м =1 об/с -? |
Розв’язок: З рисунка видно, що
або
звідки
|
|
,
,
(2.82.) Чому дорівнює сила тиску автомобіля на опуклий міст у точці А на відстані s=26 м від його середини, якщо маса автомобіля з вантажем 5 т? Швидкість руху автомобіля 54 км/год, а радіус кривизни моста 50 м.
Дано: s=26 м R=50 м m=5·103 кг =15 м/с F-? |
Розв’язок:
|
|
(2.83.) Гойдалки підвішені до каруселі на відстані 5 м від вісі обертання за допомогою тросів довжиною 5 м. За якої частоти обертання каруселі троси утворюють з вертикаллю кут 300?
Дано: R=5 м l=5 м =300
|
Розв’язок: Запишемо рівняння руху для гойдалки
або
|
|
-?
(2.84.) Під час розбирання кам’яної стіни висотою 2,5 м муляри спускають цеглу дерев’яним жолобом, кут нахилу якого до горизонту становить 300. Визначити час руху цеглини до землі, якщо коефіцієнт тертя цегли по дереву дорівнює 0,46.
Дано: h=2,5 м =300 =0,46 t - ? |
Розв’язок: Знаходимо час з рівняння для шляху
Прискорення знаходимо з рівняння руху цегли
звідки
Враховуючи останнє, для визначення часу одержуємо:
|
=3,16 (с) |
,
звідки
.
,
.
(2.87.) Дирижабль, наповнений воднем, має підйомну силу 2,2·105 Н. Яку підйомну силу він матиме, якщо наповнити його гелієм? Маса оболонки 2 т.
Дано: Fп=2,2·105 Н m=2·103 кг п=1,29 кг/м3 в=0,09 кг/м3 г=0,18 кг/м3 Fп1-? |
Розв’язок: Підіймальна сила визначається за формулою: Fп=FA-P, Де Р – вага дирижабля. За формулою для вказаної за умовою підіймальної сили Fп= пgV-(m+ ВV)g Визначаємо об’єм дирижабля
Використавши останнє, для підіймальної сили Fп1 записуємо:
|
|
Виконавши
перетворення, остаточно одержуємо:
(2.88.) Блок з алюмінієвими важками масами m1=0,6 кг та m2=1 кг підвішений над посудиною. Знайти густину рідини, якщо важки рухаються у ній з прискоренням 0,2 м/с2. Опором рідини можна знехтувати.
Дано:
m1=0,6 кг m2=1 кг a=0,2 м/с2 -? |
Розв’язок: Запишемо рівняння 2-го закону Ньютона для системи вантажів
За масою і густиною другого важка визначаємо його об’єм
Підставляємо вираз для об’єму в рівняння і визначаємо шукану густину
|
=991,8 (кг/м3)
|
кг/м3
.
.
(2.89.) На клині з кутом нахилу нерухомо лежить брусок. Клин рухається з прискоренням a в напрямку, вказаному стрілкою на рисунку. За якого мінімального значення цього прискорення брусок почне зісковзувати, якщо коефіцієнт тертя між ним і клином дорівнює ?
Дано:
аmin-? |
Розв’язок: Запишемо основне рівняння динаміки в проекції на горизонтальну вісь для системи за відсутності руху бруска
Брусок почне зісковзувати за умови
тоді для мінімального значення прискорення одержуємо:
Остаточно
|
