Линия регрессии

уравнение y = y(x), где  , в котором x играет роль независимой переменной, называется уравнением регрессии, а соответствующий график – линией или кривой регрессии. Наиболее простым является случай, когда регрессия Y по X линейна. Уравнение при этом выражается формулой  , где y, x – средние значения величин Y и X, cov(y,x) – ковариация Y и X, - дисперсия X. Когда величина Y статистически зависит от нескольких величин  , речь идет о гиперповерхности регрессии в n-мерном пространстве.

25) Корреляционным моментом µxy случайных величин X и у называют математическое ожидание произведения отклонений этих величин:

µ_xy = M { [ X - M(X) ] [ Y - M(Y) ] }

Для нахождения корреляционного момента дискретных величин используют формулу:

 ,

а для непрерывных величин — формулу :

Корреляционный момент характеризует наличие (отсутствие) связи между величинами X и У. Ниже будет доказано, что корреляционный момент равен нулю, если X и У независимы; Если же корреляционный момент для случайных величин X и Y не равен нулю, то между ними имеется завимость.

Коэффициент ранговой корреляции Кендалла

Применяется для выявления взаимосвязи между количественными или качественными показателями, если их можно ранжировать. Значения показателя X выставляют в порядке возрастания и присваивают им ранги. Ранжируют значения показателя Y и рассчитывают коэффициент корреляции Кендалла:

,

где  .

 — суммарное число наблюдений, следующих за текущими наблюдениями с большим значением рангов Y.

 — суммарное число наблюдений, следующих за текущими наблюдениями с меньшим значением рангов Y. (равные ранги не учитываются!)

Если исследуемые данные повторяются (имеют одинаковые ранги), то в расчетах используется скорректированный коэффициент корреляции Кендалла:

 — число связанных рангов в ряду X и Y соответственно.

Коэффициент ранговой корреляции Спирмена Каждому показателю X и Y присваивается ранг. На основе полученных рангов рассчитываются их разности   и вычисляется коэффициент корреляции Спирмена:

Коэффициент корреляции знаков Фехнера

Подсчитывается количество совпадений и несовпадений знаков отклонений значений показателей от их среднего значения.

C — число пар, у которых знаки отклонений значений от их средних совпадают.

H — число пар, у которых знаки отклонений значений от их средних не совпадают.

Коэффициент множественной ранговой корреляции (конкордации)

 — число групп, которые ранжируются.

 — число переменных.

 — ранг  -фактора у  -единицы.

Значимость:

, то гипотеза об отсутствии связи отвергается.

В случае наличия связанных рангов:

Свойства коэффициента корреляции

• Неравенство Коши — Буняковского:

если принять в качестве скалярного произведения двух случайных величин ковариацию  , то норма случайной величины будет равна  , и следствием неравенства Коши — Буняковского будет:

.

• Коэффициент корреляции равен   тогда и только тогда, когда   и   линейно зависимы (исключая события нулевой вероятности, когда несколько точек «выбиваются» из прямой, отражающей линейную зависимость случайных величин):

,

где  . Более того в этом случае знаки   и   совпадают:

.

Доказательство 

• Если   независимые случайные величины, то  . Обратное в общем случае неверно.