§ 46. Доказательство и опровержение

Заметим, что в силу закона противоречия, согласно которому для любого высказывания А не может быть истинным одновременно А и -л А, доказательство А означает одновременно опровержение i А. В силу закона исключенного треть-его, согласно которому истинно А или -, А, опровержение А есть доказательство -,А Это приводит к возможности употребления термина <доказательство> в узком и широком смысле:

• в узком смысле мы доказываем А и при этом опровергаем -. A;

• в широком смысле и то, и другое есть доказа-тельство: в одном случае истинности А, в другом истинности -1 А или, что то же, ложности А. Иначе говоря, употребляя термин <доказательство> в широком смысле, мы не различаем доказательство и опровержение.

До некоторых пор мы будем пользоваться этим термином именно в этом более широком смысле и лишь при не-обходимости подчеркнуть некоторые особенности процесса опровержения будем выделять его как противоположность доказательству в узком смысле.

Кроме того, вместо точных, но довольно громоздких выражений <доказательство утверждения об истинности неко-торого высказывания А> и <доказательство утверждения о ложности некоторого которого высказывания А> (без кото-рых трудно было обойтись при точной формулировке общего понятия аргументации) будем теперь с разрешения читателя употреблять хотя и менее точные, но более удобные выражения: <доказательство истинности А> и <доказательство ложности А>.

Состав доказательства (и, конечно, опровержения, поскольку речь идет о доказательстве в широком смысле). В доказательстве выделяются:

• Тезис доказательства высказывание, истинность или ложность которого доказывается.

• Аргументы высказывания, посредством которых осуществляется доказательство тезиса.

• Промежуточные допущения вспомогательные допущения, которые вводятся в процессе рассуждения (дедук-ции) и устраняются затем при переходе к окончательному результату рассуждения 1 .

• Форма доказательства логический способ обоснования тезиса при помощи аргументов (возможно с использованием промежуточных допущений).

В доказательстве таким способом обоснования тезиса яв-ляется дедуктивный вывод, то есть вывод, обеспечивающий истинность заключения (тезиса) при истинности посылок (аргументов доказательства). Основу такого дедуктивного рассуждения составляет совокупность принятых законов ло-гики и правил перехода от одних высказываний к другим в процессе доказательства. Указание на характер этих перехо-дов называют также д е м о н с т р а ц и е й (см. <Анализ до-казательства>, <анализ вывода> § 9).

Поскольку речь шла о доказательстве в широком смысле, приведенная характеристика состава доказательства отно-сится и к доказательствам в узком смысле, а также и к опро-вержениям. Рассмотрим теперь более подробно элементы этого состава.

Поскольку доказательство это рассуждение, заверша-ющееся обоснованием тезиса, то ф о р м а д о к а з а т е л ь -ства это форма соответствующего рассуждения со-вокупность связей между исходными и возникающими в процессе рассуждения высказываниями. Если доказательст-во осуществляется в рамках некоторой логической системы, то форма его определяется совокупностью употребляемых в доказательстве законов и правил этой системы.

В процессе демонстрации происходит обоснование пере-ходов от одних высказываний к другим и таким образом рас-крывается характер упомянутых связей между высказывани-ями. Этот момент обоснования отсутствует в так называемых естественных рассуждениях, когда нет специального описа-ния используемых в доказательстве логических средств.

Заметим, что в практике научного познания под терми-ном доказательство имеют в виду не просто дедуктивный вывод тезиса из множества аргументов, а более широкую процедуру интеллектуального характера, включающую так-же и поиск аргументов. А это означает анализ некоторых из-вестных связей, отношений в той области действительности, к которой относятся содержащиеся в тезисе утверждения. Так, доказательство равенства суммы углов треугольника 180° (в Эвклидовой геометрии) включает, как известно, опре-деленное построение (проведение линии, параллельной од-ной из сторон треугольника) и анализ соотношений углов, образованных пересечениями этой линии двумя сторонами треугольника. В результате анализа оказывается, что в каче-стве аргументов здесь могут быть взяты уже доказанные тео-ремы о равенстве накрест лежащих углов, образуемых при пересечении двух параллельных третьей линией, и о равен-стве развернутого угла 180°.

Существенную роль, так же в качестве аргументов, при этом играют, наряду с аксиомами, аналитически истинные утверждения, то есть утверждения, истинные в силу прини-маемых определений. Такие, например, как <Развернутый угол это угол, который образован двумя лучами, каждый из которых является продолжением другого> (оба луча со-ставляют одну прямую).

Однако для представления доказательства в более полном виде в качестве аргументов могли бы быть взяты только ак-сиомы, которые были использованы в доказательстве упомя-нутых теорем, и высказывания, истинные по определению. Использование же ранее доказанных теорем это способ сокращения доказательств.

А р г у м е н т ы в правильном доказательстве это высказывания, истинность которых не вызывает сомнения, и при этом уверенность в их истинности имеет какие-то ра-циональные основания. Иначе говоря, аргументы это та-кие высказывания, которые выражают знание человека о наличии или отсутствии соответствующих утверждаемых или отрицаемых в этих высказываниях ситуациях. Прав-да, у различных людей может быть различное отношение к одним и тем же высказываниям. Для одних истинность высказываний очевидна, у других может вызвать сомнения. Это обусловливает необходимость учитывать при осуще-ствлении доказательства и вообще в процессе аргумента-ции применяемой в процессе общения характер ауди-тории, для которой она предназначена. Таким образом, в за-висимости от аудитории правомерно употреблять в качестве аргументов то или иное множество высказываний. Различ-ными также для разных аудиторий могут быть приемлемые законы логики и правила вывода. Представитель, например, интуиционистской или релевантной логики не признает не-которые способы рассуждения, приемлемые в классической логике.

Множество высказываний, приемлемых для данной ауди-тории в качестве несомненно истинных для доказательст-ва некоторого утверждения или в качестве правдоподоб-ных когда речь идет лишь о более или менее достаточном подтверждении, а также совокупность приемлемых логиче-ских средств, называется п о л е м а р г у м е н т а ц и и

К числу несомненно истинных, или достоверных видов а р г у м е н т о в , входящих в поле аргументации, в любом случае обычно относят высказывания, истинность которых устанавливается на основе чувственного опыта при условии многократной проверки их с целью убеждения в надежности показаний органов чувств (во избежание случаев, когда мы имеем дело с оптическим обманом, миражом и т. п.).

Достоверными являются также утверждения, истинные по определению аналитически истинные утверждения; да-лее, аксиомы содержательной теории, которые нередко даже и определяют в литературе как утверждения, не требующие доказательства> (<не требующие> именно в силу их оче-видности). Однако история науки знает немало примеров, свидетельствующих о том, что очевидность не всегда являет-ся достаточным критерием истинности.

Наконец, аргументами доказательства в составе некото-рой теории могут быть утверждения, уже ранее доказанные в этой теории.

П р о м е ж у т о ч н ы е д о п у щ е н и я играют вспомо-гательную роль. Они вводятся в зависимости от логической структуры тезиса и в конечном счете устраняются в процес-се самого доказательства. Эти высказывания могут быть как истинными, так и ложными. Например, в доказательствах <от противного> вводятся в качестве промежуточных до-пущений обычно даже заведомо ложные высказывания.