I (аксіоми додавання)

1. Для ∀a, b ∈ Ǝ! а + b ∈ R – сума,

2. (a + b) + c = a + (b + c) – сполучна або асоціативна властивість,

3. Ǝ 0 – число нуль: а + 0 = а, ∀а ∈ R,

4. ∀ a ∈ R Ǝ (-a) – протилежний елемент а + (-а) = 0,

5. a + b = b + a – переставна або комутативна функція,

II (аксіоми множення)

1. ∀ a, b ∈ R Ǝ! а∙b ⊂ R – добуток

2. (ab)∙c = a∙(bc) – сполучна чи асоціативна

3. Ǝ – одиниця a∙1 = a, ∀a ∈ R

4. ∀a ≠ 0 Ǝ a^-1 – обернений елемент a∙a^-1 = 1

5. ab = ba – переставна чи комутативна властивість

6. (a + b)∙c = ac + bc – розподільна чи дистрибутивна властивість

III (аксіоми порядку)

1. Для ∀a, b ∈ R має місце одне і тільки одне із співвідношень

a = b, a < b, b < a,

2. Якщо a < b і b < c, то a < c – транзитивність

3. Якщо a < b і c < d, то a + c < b + d (зв`язок « < » з « + »)

4. Якщо a < b і c > 0, то ac < bc;

Якщо ж c < 0, то ac > bc (зв`язок « < » з «∗»)

Зауваження 2. Зазначені властивості I-III не повністю характеризують множину дійсних чисел. Вони притаманні також множині Q раціональних чисел і неможливо доводити існування раціональних чисел на основі цих аксіом, тому формулюють ще одну спеціальну аксіому аналогічну аксіомі Кантора.

IV (аксіоми неперервності у формі Дедекінда)

Якщо A, B – довільні числові множини так, що A ≤ B, то Ǝ c ∈ R A ≤ с ≤ B.

Це наведено повну систему аксіом I-IV множин дійсних чисел. Вони, з одного боку однозначно визначають множину R (тобто множину дійсних чисел можна назвати довільну множину х≠0, яка не є одно точковою (задав всі перелічні аксіоми), а з іншого – будь- яка властивість дійсних чисел, вона випливає з даних аксіом.

Наслідки з аксіом_________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________

Д/З № 4 Аксіома Архімеда.

На

Модуль дійсного числа

Із ШКМ відомо наступне визначення.

Означення 13. Модулем дійсного числа ____________________________________________________________

Наприклад |2|=2, |-2|=2, |0|=0.

Якщо скористатись геометричною інтерпретацією цього важливого поняття, то модуль – це відстань від початку координат числової осі до відповідного числа нанесеного на цю вісь.

_____________________________________________________________________________________________________

Приклад 6. Розв’яжіть рівняння

Розв’язання

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Зауваження 3. На практиці для економії часу зручно використовувати не означення модуля, а його властивості.

Наведемо деякі властивості модуля дійсного числа

Властивісь 1.

Властивісь 2.

Властивісь 3. ,∀a∈ R.

Властивісь 4

2. (a, b – числа одного знаку). Тоді .

У цьому випадку 4.1) виконується.

2. (число a, b різного знаку). Тоді аналогічно показується правильність 4.1). Незрозуміло звідки ця правильність випливає.

5. За властивістю 3:

Маємо нерівність .

5. .

Переставимо місцями a, b:

.

Підставимо дві нерівності:

( … ?)

5. Окремі випадки:

1. . Тоді нерівність набуде вигляду: .

2. :

Разом з a і b: .

■

За допомогою модуля дають зручніше означення обмеженої множини М.

А саме: , .

Це означення рівносильне попередньому означенню. Це була нерівність . (?)