2. Предварительные сведения о логическом законе.

Логическими законами называются такие структуры, при пользовании которыми мы, отталкиваясь от ранее полученного истинного знания, с неизбежностью приходим к новому, тоже истинному знанию. Эта правильность перехода от одного знания к другому при помощи логических законов обнаруживает действительные, реально существующие, объективные связи и отношения предметов внешнего мира.

Для разъяснения данного положения рассмотрим следующую схему: “Некоторые А суть В, следовательно, некоторые В суть А”. Нетрудно заметить, что она отвечает требованиям правильности, т.к. при истинности утверждения “Некоторые А суть В” утверждение “Некоторые В суть А” будет истинным с необходимостью. Теперь проанализируем другую схему: “Некоторые А суть В, следовательно, все А суть В”. В данном случае из истинности утверждения “Некоторые А суть В” не следует с необходимостью истинность утверждения “Все А суть В”. Это легко видно, если вместо символов А и В в схеме поставить конкретные выражения. Так, например, из истинности утверждения “Некоторые ученые — спортсмены” не вытекает истинности утверждения “Все ученые — спортсмены”. Таким образом, видно, что в первом случае рассуждение ведется по логическим законам, во втором же рассуждение неправильно.

Анализ понятия “логический закон” позволяет нам более четко представить предмет логики и определить ее как науку о закономерностях правильного мышления, т.е. такого мышления, при котором обеспечивается переход от ранее установленных истин к новому знанию без обращения в каждом конкретном случае к опыту, на основании использования мыслительных схем, сложившихся в результате многократного повторения при постижении истины.

3. Понятие о формализованном языке. Семантические категории.

Первостепенное значение для логики имеет язык. Именно он является той реальностью, изучение способа построения и употребления которой дает нам знание о логической структуре мыслей, помогает нам постичь законы правильного мышления. Для исследования свойств разговорного или естественного языка, на котором мы общаемся, в логике используется, подобно многим наукам, искусственный или формализованный язык. При помощи этого языка ученые стремятся избегнуть тех ошибок и неточностей, которые мы допускаем в обычной речи. Не всегда следствием использования формализованного языка является краткость выражения или легкость для восприятия, но всегда точность.

Анализ формализованного языка начнем с теории семантических категорий. Для этого рассмотрим пример.

Возьмем следующее арифметическое выражение: “5+7=12”. Это выражение является осмысленным. Кроме этого, оно также и истинно. Если мы в нем заменим цифру “5” на любую другую, оно останется осмысленным, хотя и перестанет быть истинным: “9+7=12”, “4+7=12” и т.д. Но если мы вместо цифры “5” поставим, например, знак “+” или “-“ — оно перестанет быть осмысленным: “++7=12” или “-- +7=12”. Это наталкивает на мысль, что выражения языка можно разбить на классы таким образом, что замена одного выражения другим из одного и того же класса не делает осмысленный текст бессмысленным, однако замена одного выражения другим из разных классов превращает осмысленный текст в бессмысленный. Классы таких выражений называются семантическими категориями. К основным из них относятся: высказывания, имена и функторы.

Высказывание — это мысленное, выраженное в форме повествовательного предложения, отражение объективной связи между предметами. Оно является истинным, если адекватно отражает эту связь, и ложным в противном случае. “Истина” и “ложь” являются логическими значениями высказываний. Так, например, логическими значениями высказываний “Земля вращается вокруг Солнца” и “Волга впадает в Каспийское море” является истина, а высказываний “Земля покоится на трех китах” и “8 меньше 4” — ложь.

Имя — это слово, или сочетание слов, обозначающее какой-нибудь определенный предмет. Будучи поставленным вместо переменной А или В в осмысленное выражение вида “А есть В”, оно не делает это выражение бессмысленным. Так, в выражении “Золото — металл желтого цвета” именами являются выражения “золото” и “металл желтого цвета”.

Функтор — это выражение, не являющееся высказыванием или именем, но выступающее средством порождения высказываний, имен или новых, более сложных функторов. Выражение, с помощью которого функтор порождает новое, более сложное выражение, называется аргументом этого функтора. Функторы различаются на основании: а) семантической категории, порожденной функтором; б) числа аргументов; в) семантической категории аргументов.

Так, функтор “неверно, что” может быть охарактеризован как одноаргументный функтор, с помощью которого порождаются высказывания из аргументов — высказываний. Например, “Неверно, что Солнце вращается вокруг Земли”.

“И” — двухаргументный функтор, с помощью которого порождаются высказывания из других высказываний. Например: “На улице идет дождь и дует ветер”. К этому же виду функторов относятся функторы “если..., то”, “или” и др. Вместе с функтором “неверно, что” они называются логическими связками или логическими союзами, поскольку служат для связи и преобразования высказываний и имен.

Такое, например, выражение, как “тает” — это одноаргументный функтор, с помощью которого образуются высказывания. В качестве аргументов здесь выступают имена. Например: “Снег тает”.

“Меньше” — двухаргументный функтор, с помощью которого образуются высказывания. В качестве аргументов и здесь выступают имена. Например, “5 меньше 10”.

“Северный” — одноаргументный функтор, с помощью которого образуются имена. Аргументами при этом тоже являются имена. Например: “Северный полюс”.

“” — двухаргументный функтор, с помощью которого образуются имена. В качестве аргументов также выступают имена. Например: “2 2”.

Среди функторов формализованных языков особое место принадлежит именным функциям, пропозициональным функциям и операторам.

Именная функция — это выражение, содержащее логические переменные и превращающееся в имя при подстановке вместо переменных их значений. Например: “х железа”, “b³”, “столица государства n”. Эти выражения являются именными функциями. Они превращаются в имена, если вместо переменных “x”, “b”, “n” подставить соответственно такие, например, значения: “окись”, “4”, “Франция”.

Пропозициональная (от лат. propositio — предложение) функция — это выражение, содержащее логические переменные и превращающееся в высказывание при подстановке вместо переменных тех выражений, которые соответствуют значениям этих переменных. Примерами пропозициональных функций могут служить:

а) “х открыл Америку”. Это выражение превращается в высказывание (истинное или ложное, но не то и другое вместе), если вместо х подставлять имена людей: “Колумб открыл Америку”, “Магеллан открыл Америку”, “Аристотель открыл Америку” и т.д.

б) “Если p, то q”. Это выражение превращается в высказывание, если вместо p и q подставлять высказывания: “Если телу придана скорость свыше 11,2 км/сек., то оно преодолеет притяжение Земли”.

в) “В том году в Поволжье была сильная засуха”. Здесь роль переменной выполняет местоимение “том”, и пока вместо него не подставлено наименование какого-то года, нельзя сказать, выражает ли это предложение истинную или ложную мысль.

Пропозициональная функция, аргументами которой являются имена, называется предикатом. Предикат можно превратить в высказывание не только указанным способом. Например, предикат “х открыл Америку” превращается в высказывание, если ему предпослать выражение “для некоторого х верно, что” или “для всякого х верно, что”. В первом случае мы получим истинное, а во втором — ложное высказывание (разумеется, если иметь в виду, что область значений переменной х — люди).

Выражение “для некоторого х верно, что”, или “существует х”, называется квантором существования и обозначается знаком . Выражение “для всякого х верно, что” называется квантором общности и обозначается знаком .

Принято говорить, что квантор связывает переменную, к которой он относится. Такая переменная называется связанной. При отсутствии квантора переменная называется свободной.

Кроме кванторов общности и существования, имеются и другие выражения, связывающие переменные. Все эти выражения объединяются общим названием — “операторы”.

При формализации знания может быть использован тот или иной набор семантических категорий. Например, отдельные фрагменты знания могут быть формализованы с помощью так называемого языка логики высказываний. При этом используются переменные, вместо которых можно подставлять высказывания (пропозициональные переменные), а также функторы, способные порождать из высказываний, новые, более сложные высказывания.

Более богатым языком является язык логики предикатов. Кроме символов логики высказываний, в нем выступают имена и именные переменные, предикаты и кванторы.