1.2. Определение статистических параметров вариационного стокового ряда и расчётных величин годового стока заданной вероятности превышения.
Метод наибольшего правдоподобия.
Применяется при любой изменчивости стока. Значения годового расхода воды (Qi) располагаем в убывающем порядке, и определяем эмпирическую ежегодную вероятность превышения:
(8)
где: m – порядковый номер членов ряда соответствующей гидрологической
характеристики, расположенной в убывающем порядке;
n– общее число членов ряда.
Чем больше вероятность превышения, тем меньше значение гидрометеорологической характеристики и наоборот.
Рассчитаем модульные коэффициенты (ki), а также (lgki) и произведения (kilgki).
Результаты расчетов запишем в таблицу 5
№ члена ряда |
Год |
Qi м3/с |
Qiубыв. м3/с |
P, % |
Ki |
Lg ki |
ki*lg ki |
1 |
1947 |
3,02 |
6,12 |
2,78 |
2,24 |
0,35 |
0,784 |
2 |
1948 |
2,43 |
4,048 |
5,56 |
1,48 |
0,17 |
0,252 |
3 |
1949 |
3,06 |
3,991 |
8,33 |
1,46 |
0,164 |
0,239 |
4 |
1950 |
2,91 |
3,964 |
11,11 |
1,45 |
0,161 |
0,234 |
5 |
1951 |
3,59 |
3,59 |
13,89 |
1,31 |
0,117 |
0,153 |
6 |
1952 |
2,65 |
3,323 |
16,67 |
1,21 |
0,083 |
0,1004 |
7 |
1953 |
2,44 |
3,1 |
19,44 |
1,13 |
0,053 |
0,0599 |
8 |
1954 |
1,38 |
3,093 |
22,22 |
1,13 |
0,053 |
0,0599 |
9 |
1955 |
2,35 |
3,093 |
25 |
1,13 |
0,053 |
0,0599 |
10 |
1956 |
2,54 |
3,093 |
27,78 |
1,13 |
0,053 |
0,0599 |
11 |
1957 |
2,72 |
3,06 |
30,56 |
1,12 |
0,049 |
0,055 |
12 |
1958 |
6,12 |
3,043 |
33,33 |
1,11 |
0,045 |
0,050 |
13 |
1959 |
1,47 |
3,02 |
36,11 |
1,10 |
0,041 |
0,0451 |
14 |
1960 |
3,10 |
2,91 |
38,89 |
1,06 |
0,025 |
0.0265 |
15 |
1961 |
2,16 |
2,758 |
41,67 |
1,01 |
0.0043 |
0,0043 |
16 |
1962 |
3,093 |
2,72 |
44,44 |
0,99 |
-0,0044 |
-0,0044 |
17 |
1963 |
1,737 |
2,65 |
47,22 |
0,97 |
-0,013 |
-0,013 |
18 |
1964 |
2,039 |
2,579 |
50 |
0,94 |
-0,027 |
-0,025 |
19 |
1965 |
2,271 |
2,54 |
52,78 |
0,93 |
-0,032 |
-0,030 |
20 |
1966 |
2,528 |
2,528 |
55,56 |
0,92 |
-0,036 |
-0,033 |
21 |
1967 |
2,45 |
2,502 |
58,33 |
0,91 |
-0,041 |
-0,037 |
22 |
1968 |
2,579 |
2,45 |
61,11 |
0,90 |
-0,046 |
-0,0414 |
23 |
1969 |
1,577 |
2,44 |
63,89 |
0,89 |
-0,051 |
-0,045 |
24 |
1970 |
3,991 |
2,43 |
66,67 |
0,89 |
-0,051 |
-0,045 |
25 |
1971 |
2,502 |
2,35 |
69,44 |
0,86 |
-0,066 |
-0,057 |
26 |
1972 |
1,809 |
2,271 |
72,22 |
0,83 |
-0,081 |
-0,067 |
27 |
1973 |
2,22 |
2,22 |
75 |
0,81 |
-0,092 |
-0,075 |
28 |
1974 |
3,323 |
2,16 |
77,78 |
0,79 |
-0,102 |
-0,081 |
29 |
1975 |
2,758 |
2,039 |
80,56 |
0,75 |
-0,125 |
-0,094 |
30 |
1976 |
1,731 |
1,809 |
83,33 |
0,66 |
-0,181 |
-0,120 |
31 |
1977 |
3,043 |
1,737 |
86,11 |
0,64 |
-0,194 |
-0,124 |
32 |
1978 |
4,048 |
1,731 |
88,89 |
0,63 |
-0,201 |
-0,127 |
33 |
1979 |
3,964 |
1,577 |
91,67 |
0,58 |
-0,237 |
-0,138 |
34 |
1980 |
3,093 |
1,47 |
94,44 |
0,54 |
-0,268 |
-0,145 |
35 |
1981 |
3,093 |
1,38 |
97,22 |
0,50 |
-0,301 |
-0,151 |
Сумма |
|
95,789 |
|
|
29.82 |
-0,7281 |
0,7301 |
Среднее |
|
2,737 |
|
|
|
|
|
По данным таблицы 5 на клетчатку вероятности (рис.2) наносим эмпирические точки (графы 4 и 5), и строим сглаженную эмпирическую кривую обеспеченности.
Определяется среднее многолетнее значение расхода воды:
Q=
=95,789/35=2,737
м3/с (9)
Затем вычисляются
суммы
=-0,728
;
=0,73 (10)
Для вычисления статистики 2 и 3 используем формулы:
(11)
(12)
По специальным номограммам (согл.[ 3]), в соответствии с вычисленными статистиками (2) и (3) определяем коэффициент вариации CV = 0,3 отношение CS/CV =2,0. Далее по этим параметрам (используя табл Ж1, согл.
[ ]) вычисляем ординаты кривой трехпараметрического гамма распределения и заносим в таблицу 6.
Таблица 6. Ординаты аналитической кривой трехпараметрического гамма распределения.
P,% |
0,01 |
0,1 |
1 |
5 |
10 |
25 |
50 |
75 |
95 |
99 |
99,9 |
Кр |
2,998 |
2,502 |
2 |
1,626 |
1,452 |
1,196 |
0,954 |
0,756 |
0,532 |
0,412 |
0,306 |
Qр, м3/с |
8,21 |
6,85 |
5,47 |
4,45 |
3,97 |
3,27 |
2,61 |
2,07 |
1,46 |
1,13 |
0,84 |
Т.к точка пересечения значений (2) и (3) попала вне номограммы, используем лишь одно значение (2), принудительно опускаем это значение на кривую CS = 2CV, и на пересечении находим значение CV.
По данным таблицы 6 строим аналитическую кривую распределения, по которой определяем искомые значения расходов воды годового стока заданной вероятности превышения.(рис.2)
Определяем средние квадратические ошибки нормы годового стока и коэффициента вариации без учета автокорреляции:
(13)
(14)
Метод моментов.
Применяется при изменчивости годового стока Cv≤0,5.Расчет статических параметров производим в порядке по таблице 7.
№ члена ряда |
Год |
Qi м3/с |
Qiубыв. м3/с |
P, % |
Ki |
Ki-1 |
(Ki-1)2 |
(Ki-1)3 |
1 |
1947 |
3,02 |
6,12 |
2,78 |
2,24 |
1,24 |
1,538 |
1,9066 |
2 |
1948 |
2,43 |
4,048 |
5,56 |
1,48 |
0,48 |
0,23 |
0,111 |
3 |
1949 |
3,06 |
3,991 |
8,33 |
1,46 |
0,46 |
0,212 |
0,097 |
4 |
1950 |
2,91 |
3,964 |
11,11 |
1,45 |
0,45 |
0,203 |
0,091 |
5 |
1951 |
3,59 |
3,59 |
13,89 |
1,31 |
0,31 |
0,096 |
0,0298 |
6 |
1952 |
2,65 |
3,323 |
16,67 |
1,21 |
0,21 |
0,044 |
0,0093 |
7 |
1953 |
2,44 |
3,1 |
19,44 |
1,13 |
0,13 |
0,0169 |
0,0022 |
8 |
1954 |
1,38 |
3,093 |
22,22 |
1,13 |
0,13 |
0,0169 |
0,0022 |
9 |
1955 |
2,35 |
3,093 |
25 |
1,13 |
0,13 |
0,0169 |
0,0022 |
10 |
1956 |
2,54 |
3,093 |
27,78 |
1,13 |
0,13 |
0,0169 |
0,0022 |
11 |
1957 |
2,72 |
3,06 |
30,56 |
1,12 |
0,12 |
0,0144 |
0,00173 |
12 |
1958 |
6,12 |
3,043 |
33,33 |
1,11 |
0,11 |
0,0121 |
0,00133 |
13 |
1959 |
1,47 |
3,02 |
36,11 |
1,1 |
0,1 |
0,01 |
0,001 |
14 |
1960 |
3,1 |
2,91 |
38,89 |
1,06 |
0,06 |
0,0036 |
0,000216 |
15 |
1961 |
2,16 |
2,758 |
41,67 |
1,01 |
0,01 |
0,0001 |
0,000001 |
16 |
1962 |
3,093 |
2,72 |
44,44 |
0,99 |
-0,01 |
0,0001 |
-0,000001 |
17 |
1963 |
1,737 |
2,65 |
47,22 |
0,97 |
-0,03 |
0,0009 |
-0,000027 |
18 |
1964 |
2,039 |
2,579 |
50 |
0,94 |
-0,06 |
0,0036 |
-0,000216 |
19 |
1965 |
2,271 |
2,54 |
52,78 |
0,93 |
-0,07 |
0,0049 |
-0,000343 |
20 |
1966 |
2,528 |
2,528 |
55,56 |
0,92 |
-0,08 |
0,0064 |
-0,000512 |
21 |
1967 |
2,45 |
2,502 |
58,33 |
0,91 |
-0,09 |
0,0081 |
-0,000729 |
22 |
1968 |
2,579 |
2,45 |
61,11 |
0,9 |
-0,1 |
0,01 |
-0,001 |
23 |
1969 |
1,577 |
2,44 |
63,89 |
0,89 |
-0,11 |
0,0121 |
-0,00133 |
24 |
1970 |
3,991 |
2,43 |
66,67 |
0,89 |
-0,11 |
0,0121 |
-0,00133 |
25 |
1971 |
2,502 |
2,35 |
69,44 |
0,86 |
-0,14 |
0,0196 |
-0,00274 |
26 |
1972 |
1,809 |
2,271 |
72,22 |
0,83 |
-0,17 |
0,0289 |
-0,00491 |
27 |
1973 |
2,22 |
2,22 |
75 |
0,81 |
-0,19 |
0,0361 |
-0,00686 |
28 |
1974 |
3,323 |
2,16 |
77,78 |
0,79 |
-0,21 |
0,0441 |
-0,00926 |
29 |
1975 |
2,758 |
2,039 |
80,56 |
0,75 |
-0,25 |
0,0625 |
-0,01563 |
30 |
1976 |
1,731 |
1,809 |
83,33 |
0,66 |
-0,34 |
0,1156 |
-0,039304 |
31 |
1977 |
3,043 |
1,737 |
86,11 |
0,64 |
-0,36 |
0,1296 |
-0,04666 |
32 |
1978 |
4,048 |
1,731 |
88,89 |
0,63 |
-0,37 |
0,1369 |
-0,050653 |
33 |
1979 |
3,964 |
1,577 |
91,67 |
0,58 |
-0,42 |
0,1764 |
-0,07409 |
34 |
1980 |
3,093 |
1,47 |
94,44 |
0,54 |
-0,46 |
0,2116 |
-0,09734 |
35 |
1981 |
3,093 |
1,38 |
97,22 |
0,5 |
-0,5 |
0,250 |
-0,125 |
Сумма |
|
95,789 |
|
|
29.82 |
|
3,7003 |
1,7798 |
Среднее |
|
2,737 |
|
|
|
|
|
|
По результатам
расчетов (табл.7) вычисляем смещенные
значения коэффициентов вариации
,
асимметрии
и средние квадратические ошибки:
Относительная средняя квадратическая ошибка нормы годового расхода воды 5,58% < 10 % (продолжительность периода n=35 лет) считается достаточной.
Расчетные несмещенные значения коэффициентов (Cv) и (Cs) для биномиального распределения методом моментов определяем по следующим формулам:
(20)
(21)
где:
и
- коэффициенты найденные по таблице 4.1
согл. [ 3] для соотношения Cs/Cv
= 1,02 и коэффициента автокорреляции
r(l)=0.
По несмещенным
параметрам CS=0,55,
CV=0,33
и
=2,737
/с
вычисляются ординаты биноминальной
кривой распределения.(табл.8) по табл.
К1 согл. [3 ]
Таблица 8. Ординаты аналитической кривой биноминального распределения годового стока.
Р, % |
0,01 |
0,1 |
1 |
5 |
10 |
25 |
50 |
75 |
95 |
99 |
99,9 |
Фр |
4,94 |
3,89 |
2,72 |
1,79 |
1,328 |
0,615 |
-0,093 |
-0,718 |
-1,47 |
-2,104 |
-2,34 |
Кр=ФрCv+1 |
2,63 |
2,284 |
1,90 |
1,59 |
1,44 |
1,203 |
0,97 |
0,763 |
0,52 |
0,306 |
0,228 |
Qp=КрQ, м³/с |
7,20 |
6,25 |
5,20 |
4,35 |
3,94 |
3,29 |
2,66 |
2,09 |
1,42 |
0,838 |
0,62 |
По данным таблицы 8 на клетчатке вероятности строим аналитическую кривую биноминального распределения модулей годового стока.(рис.2)
Графоаналитический метод.
Для получения оценок параметров аналитической кривой распределения. По сглаженной эмпирической кривой распределения, построенной с использованием данных таблицы 5 (графы 4, 5), определяем ее ординаты, т.е. средние годовые расходы воды с вероятностью превышения (Р), равной 5 %, 50 %, 95 % результаты заносим в таблицу 9.
Таблица 9. Параметры кривой распределения годового стока, рассчитанные графоаналитическим методом.
Q5%, м3/с |
Q50% м3/с |
Q95% м3/с |
S |
Cs |
Ф5%-Ф95% |
σ |
Ф50% |
σ*Ф50% |
Cv |
4,465 |
2,579 |
1,452 |
0,25 |
0.9 |
3,21 |
0,939 |
-0,45 |
-0,423 |
0,31 |
Определение параметров биноминальной кривой обеспеченности графоаналитическим методом необходимо начать с расчета коэффициента скошенности:
(22)
С использованием коэффициента скошенности по таблице К1 согл.[ ] определяем коэффициент асимметрии (Cs) разность нормированных отклонений (Ф5% - Ф95%) и нормированное отклонение (Ф50%). Далее рассчитываем среднее квадратическое отклонение (), норма годового расхода воды ( ) и коэффициент вариации (Cv):
(23)
м3/с (24)
(25)
Весь ход вычисления оценок параметров аналитической кривой распределения графоаналитическим методом отражен в табл.9
По параметрам
/с,
Cv=0,31,
Cs=0,9
рассчитаем ординаты аналитической
кривой обеспеченности биноминального
распределения стока (табл.10), которое
наносится на клетчатку вероятности.(рис.2)
Таблица 10. Ординаты аналитической кривой биноминального распределения годового стока.
Р, % |
0,01 |
0,1 |
1 |
5 |
10 |
25 |
50 |
75 |
95 |
99 |
99,9 |
Фр |
5,73 |
4,385 |
2,955 |
1,86 |
1,34 |
0,565 |
-0,145 |
-0,73 |
-1,35 |
-1,665 |
-1,91 |
Кр=ФрCv+1 |
2,78 |
2,36 |
1,92 |
1,58 |
1,42 |
1,18 |
0,96 |
0,77 |
0,58 |
0,48 |
0,41 |
Qp=КрQ, м³/с |
8,34 |
7,08 |
5,76 |
4,74 |
4,26 |
3,54 |
2,88 |
2,31 |
1,74 |
1,44 |
1,23 |
Определяем средние квадратические ошибки нормы годового стока и коэффициента вариации без учета автокорреляции для графоаналитического метода:
(26)
(27)
Вывод: На клетчатке вероятности видно (рис.2), что наилучшее соответствие точек эмпирических и теоретических кривых наблюдается у трёхпараметрического гамма-распределения Сv=0,30 и Сs=2Сv. Поэтому определяем расход заданной обеспеченности по теоретической кривой, построенной по методу наибольшего правдоподобия Q90%=0,6м3/c . В качестве расчётной выбирается теоретическая кривая, которая ближе всего проходит возле эмпирических точек. В нашем случае – это теоретическая кривая, построенная по методу наибольшего правдоподобия.