3. Операции над векторами, заданными координатами

Пусть даны два вектора:

, .

1. Сложение:

2. Вычитание:

3. Умножение вектора на число :

4. Скалярное произведение двух векторов

О п р е д е л е н и е 8. Скалярным произведением двух векторов и называется число, обозначаемое или , вычисляемое по формуле:

   . (2)

Физический смысл: скалярное произведение есть работа силы на пути вектора .

Свойства скалярного произведения:

где ;

Если угол между векторами и острый, то 0;

если угол тупой, то 0;

Если известны координаты векторов и , то их скалярное произведение вычисляется по формуле:

; (3)

Проекция вектора на вектор вычисляется по формуле:

; (4)

9. Если  угол между векторами и , то

. (5)

5. Векторное произведение двух векторов

О п р е д е л е н и е 9. Векторным произведением двух векторов и называется вектор , обозначаемый , удовлетворяющий трем условиям:

• (то есть вектор перпендикулярен плоскости, построенной на векторах и );

• векторы , , в указанном порядке образуют правую тройку, то есть вектор направлен таким образом, что кратчайший поворот вектора до совпадения с вектором виден из конца вектора совершаемым против часовой стрелки;

• ç ç=ç ç×ç ç× , см. рис.4.

Рис. 4.

Свойства векторного произведения:

1)

2)

3) ;

4) ;

5) Векторы и коллинеарные (принадлежат параллельным прямым) тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулю:

çç ;

6. Площадь параллелограмма, построенного на векторах и , численно равна длине векторного произведения этих векторов:

ç ç×ç ç× =ç ç;

7) Площадь треугольника, построенного на векторах и , равна половине длины векторного произведения этих векторов:

| ç;

8. Если известны координаты векторов и

, то их векторное произведение вычисляется по формуле:

(6)

9) Физический смысл: если вектор рассматривать как силу, приложенную к точке А, а вектор есть вектор , то вектор представляет собой момент силы относительно точки О (рис. 5).

В

j j

О А Рис. 5.