1.2 Заполнение уровней при тепловом равновесии

Поскольку в соответствии с выражением (6.24) волновая функция электрона распространяется на весь кристалл, можно применить принцип Паули, согласно которому каждый уровень энергии может быть занят не более чем двумя электронами. Соответственно вероятность заполнения f(E) данного состояния с энергией Е (в валентной зоне или зоне проводимости) дается статистикой Ферми — Дирака, а не статистикой Максвелла — Больцмана. Таким образом,

где E_f — энергия так называемого уровня Ферми ¹¹⁾ . Этот уровень имеет следующий физический смысл: когда T 0 , имеем

Таким образом, этот уровень представляет собой границу между полностью заполненными и пустыми уровнями при Т = 0 К. В невырожденных полупроводниках уровень Ферми располагается внутри запрещенной зоны (рис. 6.40). Таким образом, при Т = 0 К валентная зона будет заполнена полностью, а зона проводимости будет пустой. Можно показать, что в этих условиях кристалл не проводит, т. е. является изолятором. Заметим также, что уровень Ферми имеет также и другое свойство — при любой температуре

f (E_f )=1/2.

1.3. Излучательные и безизлучательные переходы

Рассмотрим монохроматическую электромагнитную волну на частоте ν, взаимодействующую с полупроводником. Если hν » Eg, то эта волна будет поглощаться полупроводником. Ради простоты мы не будем вдаваться в квантовомеханический расчет процесса поглощения. В действительности результаты подобных расчетов редко используются на практике. Мы лишь отметим, что в случае прямого перехода должен сохраняться полный импульс:

где k_v и k_c — волновые векторы электрона соответственно в валентной зоне и зоне проводимости, а k_опт — волновой вектор падающей электромагнитной волны. Однако в оптическом диапазоне

,

в то время как k_v и k_c имеют порядок 10⁸ см^-1. Поэтому можно принять приближение а k_опт 0 и записать (6.31) в виде

так что переходы должны происходить между начальным и конечным состояниями с одним и тем же вектором k. Это означает, что на диаграмме рис. 6.40 переход должен соответствовать вертикальной линии. Условие (6.32) называют условием сохранения импульса кристалла. Заметим, что у непрямозонного полупроводника минимум зоны проводимости имеет место при fe, отличном от того, которое соответствует максимуму валентной зоны. В этом случае переход между указанными двумя состояниями может произойти, если в нем будет участвовать фоном решетки, чтобы скомпенсировать несохранение импульса кристалла. Однако непрямые переходы гораздо слабее, и это является основной причиной того, что лазерную генерацию никогда не удавалось наблюдать в непрямозонных полупроводниках, таких, как кремний.

Будучи заброшенным в зону проводимости, электрон релаксирует путем безизлучательных переходов (взаимодействуя с фононами решетки) на дно этой зоны. Не так давно было показано, что этот внутризонный переход происходит в течение очень короткого времени (< 100 фс). В то же время дырка, оставшаяся в валентной зоне (рис. 6.40), релаксирует за очень короткое время к верхушке валентной зоны. В этой точке электрон может рекомбинировать с дыркой либо излучательным, либо безизлучательным путем. Время жизни для межзонных переходов составляет около 1 нc, т. е. много больше времени жизни внутризонных переходов. Как уже рассматривалось в гл. 2 (см. разд. 2.5), безизлучательные межзонные переходы обычно происходят на глубоких ловушках, причем соответствующая энергия передается фонону решетки или свободным носителям. В полупроводниках, используемых в качестве активных сред лазеров, излучательная релаксация преобладает над безизлучательной и квантовый выход люминесценции может достигать 80 % или даже больших значений.