Интегрируя (19), получаем

. (20)

Константу С₂ определим по начальному условию: при t = 0, x = 0, откуда С₂ = 0. Следовательно, закон движения вдоль оси x имеет вид

. (21)

Далее интегрируем уравнение (17)

. (22)

C₃ определяем по начальному условию: при t = 0, V_y = 0, так как – горизонтален. Поэтому С₃ = 0. Учитывая, что , уравнение (22) представим в виде

. (23)

Интегрируя уравнение (23), получаем

. (24)

Начальное условие: при t = 0, у = 0 даёт С₄ = 0. Таким образом, закон движения груза вдоль оси y имеет вид

. (25)

Для определения угла β между вектором скорости и прямой ВС найдём проекции вектора в момент встречи груза с прямой ВС. Для этого определим время движения груза на участке траектории ВС. Координаты точки С связаны условием

x=ytgα. (26)

Подставляя в (26) выражения для x и y, полученные выше, имеем

. (27)

Из (27) находим

. (28)

Таким образом, в точке С проекции вектора скорости определяются как

, . (29)

Угол β между вектором и прямой ВС определим как угол между вектором и единичным вектором прямой ВС. Проекции вектора на оси х и у есть sinα и cosα соответственно. Тогда для определения угла β используем формулу

. (30)

Из (30) находим

. (31)

Примечание. В расчетно-графической работе все полученные результаты должны быть доведены до числа.

Задача д 2 Динамика относительного движения материальной точки

Методические указания. Задача Д2 – на составление и решение дифференциального уравнения относительного движения. В каждом варианте к грузу М прикреплены две пружины одинаковой длины l₀ в свободном состоянии. Если пружины соединены параллельно, то в расчете они заменяются одной эквивалентной пружиной, жесткость которой С_экв ^парал = С₁ + С₂. Если пружины соединены последовательно, то жесткость эквивалентной пружины равна

С_экв ^посл = .

Пример

Рис. Д2

Материальная точка М массы m движется по хорде круга радиуса R, равномерно вращающегося в вертикальной плоскости вокруг оси, проходящей через точку О₁. К точке М прикреплена пружина жесткости С_экв, длина которой в свободном состоянии равна l₀. Найти закон относительного движения х(t), координаты х и давление точки на диск для заданного момента времени t₁. На точку также действует сила

Решение

Свяжем с вращающимся диском подвижную систему координат ХОY с началом в точке О. Для промежуточного положения движущейся вдоль оси Х точки М укажем все силы, действующие на неё. На точку М действуют сила тяжести , сила упругости пружины , реакция со стороны канала и сила . Так как вращающаяся система координат ХОY неинерциальная, то для составления уравнения относительного движения точки М к ней необходимо приложить, помимо указанных выше сил, силы инерции: переносную центробежную силу инерции и кориолисову силу инерции _. Направления сил инерции противоположно направлениям соответствующих ускорений. Так как диск вращается равномерно, то переносная сила инерции есть только центробежная сила инерции, а вращательная сила инерции отсутствует в силу равенства нулю углового ускорения диска. В векторном виде уравнение относительного движения запишем как:

. (1)

Уравнение (1) эквивалентно двум уравнениям в проекциях на оси Х и Y подвижной системы координат:

; (2)

. (3)

Найдём модули сил инерции. Модуль центробежной силы инерции равен

. (4)

Модуль кориолисовой силы инерции равен:

. (5)

В уравнениях (2) и (3) входят величины sin и cos, которые соответственно равны:

 = . (6)

cos= . (7)

В свою очередь МК=ОК-Х, а ОК находим как высоту равностороннего  ОО₁С со стороной R, т.е.

ОК=Rcos30⁰= . (8)

Подставляя последнее выражение в формулу (8) и далее в формулу (6), находим:

sin= . (9)

Подставляя выражение (9) и (4) в уравнение (2), получаем

mx= - mgsint - c(x- l₀) – m² + Hsin(pt). (10)

Уравнение (10) перепишем в виде

mx + (c - ²)х =Cl₀ - - mgsint + Hsin(pt) . (11)

Разделив обе части равенства (11) на m, окончательно получаем

x + х = . (12)

Обозначим А = и - константы. Тогда уравнение относительного движения точки М запишется в виде

x + х = А . (13)

Уравнение (13) есть линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Решение такого уравнения ищется в виде

, (14)

где - общее решение однородного уравнения

x + х =0; (15)

- частное решение уравнения (13).

Общее решение однородного уравнения находим с помощью характеристического уравнения:

² + =0. (16)

При нахождении корней уравнения (16) возможны три случая:

1. .

Тогда , где .

В случае, когда корни характеристического уравнения чисто мнимые, решение имеет вид

. (17)

2.

Тогда корни характеристического уравнения вещественные числа и решение находим в виде

. (18)

3. Если , то и решение примет вид

. (19)

Частное решение определяется видом правой части уравнения (13) и для рассматриваемого случая запишется в виде

, (20)

где В, D и Е – константы подлежащие определению

Подставляя (20) в (13), получим:

(21)

.

Приравнивая в левой и правой частях равенства (21) коэффициенты, стоящие перед одинаковыми множителями, находим:

; ; . (22)

Выражение для Е имеет смысл, если только , что и предполагается далее. С учетом (22) общее решение уравнения (13) – закон относительного движения точки – определяется как:

, (23)

где Х⁰ берётся по одной из формул (17) - (19).

Для нахождения констант интегрирования и используем начальные условия, которые подставляем в выражение (23)

,

Пусть имеет место случай 1, тогда

, откуда , (24)

Для определения продифференцируем по времени (23), предварительно подставив по формуле (17). Тогда получим:

(25)

Второе начальное условие дает

. (26)

Из (26) находим :

. (27)

Подставляя конкретные значения и , найденные по (24) и (27), в (23) определяем закон относительного движения точки X(t) и положение точки в момент времени t₁. Если имеет место случай резонанса, тогда частное решение уравнения (13) ищется в виде:

и

определению подлежат только В и Д.

Для определения давления груза М на диск используем уравнение (3), из которого находим:

, (30)

где определяется по (25).

Подставляя конкретное значение в (30) находим реакцию диска на груз . По третьему закону Ньютона груз давит на диск с такой же силой , но направленной противоположно.