28. Запитання для самоконтролю

1. Сформулюйте означення взаємно однозначної відповідності та оборотної функції.

2. Сформулюйте означення еквівалентних множин.

3. Що розуміють під терміном “потужність множини”?

4. Сформулюйте означення зліченної множини. Наведіть приклад зліченної множини.

5. Доведіть теорему про зліченність множини раціональних чисел.

6. Сформулюйте означення алгебраїчного числа.

7. Сформулюйте означення незліченної множини.

8. Наведіть приклад незліченної множини.

9. Сформулюйте означення трансцендентного числа.

10. Наведіть приклад незліченної множини.

11. Сформулюйте означення множини потужності континууму.

12. Наведіть приклад множини потужності континууму.

29. Вправи та задачі.

1. Нехай – задана функція і така функція, що . Доведіть, що є оборотною і .

2. Нехай – оборотна функція і (1). Доведіть, що . На прикладі , , переконайтесь, що з (1) не випливає оборотність .

3. Укажіть ті з функцій , , , , , , , , , , , , , які є оборотними функціями з в .

4. Нехай –деяка функція, , , і . Доведіть, що : , , . На прикладі функції ортогонального проектування в , тобто функції , для якої , і множин та переконатись, що, взагалі кажучи, .

5. Кожна нескінченна множина містить зліченну підмножину.

6. Кожна нескінченна підмножина зліченної множини є зліченною.

7. Об’єднання скінченного числа зліченних множин є зліченною множиною.

8. Об’єднання зліченної і скінченної множини є зліченна множина.

9. Множина всіх скінченних підмножин із є зліченною.

10. Множини є зліченною.

11. Множина всіх поліномів з раціональними коефіцієнтами є зліченною.

12. Множина всіх квадратів з , координати вершин яких виражаються раціональними числами, є зліченною.

13. Множина всіх поліномів другого степеня є незліченною.

14. Множина всіх трикутників на площині є незліченною.

15. Установіть взаємно однозначну відповідність між точками кола і межі описаного навколо нього квадрата.

16. Переконайтесь, що функція , яка задана параметрично , ,є взаємно однозначною відповідністю між множинами і .

17. Знайдіть взаємно однозначну відповідність між множинами і

1. , .

2. , .

3. , .

4. , .

5. , .

6. , .

7. , .

8. , .

9. , .

10. , .

11. , .

12. , .

13. , .

14. , .

15. , .

16. , .

17. , .

18. , .

19. , .

20. , .

21. , .

22. , .

23. , .

24. , .

25. , .

26. , .

27. , .

28. , .

29. , .

30. , .

31. , .

32. , .

18. Нехай для кожного множини і є еквівалентними, множини попарно не перетинаються і множини попарно не перетинаються. Доведіть, що множини та є еквівалентними.

19. Нехай – нескінченна множина, а – скінченна або зліченна множина. Доведіть, що .

20. Віднесемо до одного класу всі трикутники площини, які є рівними. Доведіть, що отримані класи не перетинаються.

21. Поділимо всі прямі на площині на класи, віднісши до одного класу паралельні прямі. Переконатись, що ці класи попарно не перетинаються.

22. Доведіть, що кожна нескінченна множина має еквівалентну їй власну підмножину , тобто таку, що . Чи справедливе це твердження для скінченних множин?

23.Доведіть, що будь-яка система попарно неперетинних відкритих проміжків дійних чисел є скінченною або зліченною.

24 Нехай для кожного множини і є еквівалентними, множини попарно не перетинаються і множини попарно не перетинаються. Доведіть, що множини та є еквівалентними.

25 Нехай – нескінченна множина, а – скінченна або зліченна множина. Доведіть, що .

26. Віднесемо до одного класу всі трикутники площини, які є рівними. Доведіть, що отримані класи не перетинаються.

27. Поділимо всі прямі на площині на класи, віднісши до одного класу паралельні прямі. Переконатись, що ці класи попарно не перетинаються.