16. Найпростіші властивості простору . Простір – це множина функцій , вимірних на множині , для яких

Теорема 1. Простір є векторним.

Доведення. Оскільки для кожної сталої , якщо , то досить довести, що , якщо елементи і належать цьому простору, а це випливає із нерівностей

, (1)

.► (2)

Наслідок 1. Якщо , , то .

Теорема 2. Простір є евклідовим зі скалярним добутком

. (3)

Доведення. Справді, безпосередньо з властивостей інтеграла випливає, що функція володіє всіма властивостями скалярного добутку. ►

Теорема 3. Простір є нормованим з нормою

.

Доведення. Це так, бо .►

Теорема 4. Простір є метричним з відстанню

.

Доведення. Це так, бо .►

Приклад 1. Скалярний добуток функцій і в просторі знаходиться так:

.

Приклад 2. Функції і належать до простору ,

, ,

.

Теорема 5. Простір є гільбертовим.

17. Найпростіші властивості простору . Простір – це множина всіх функцій істотно обмежених на . Цей простір є лінійним зі звичайними операціями додавання функцій і множення функцій на числа. Функція

,

де інфімум береться по всіх множинах нульової міри, є нормою на .

Приклад 1. Якщо функція є неперервною на проміжку , то вона належить до простору і .

Приклад 2. Неперервна функція належить до простору і .

Приклад 2. Функція належить до простору і .

Приклад 3. Функція належить до простору і .

Теорема 1. Простір є банаховим.

18. Простори , . Просторів , , досить для більшості застосувань. Інколи зустрічаються простори і для інших .

Теорема 1. Простори , , є банаховим з нормою і не є евклідовими, якщо .

Теорема 2. Простори , , є повними метричними просторами з відстанню і не є нормованими.

19. Зв’язок між різними типами збіжностей у просторі .

Теорема 1. Нехай і – послідовність функцій , вимірних на множині . Тоді: 1) якщо збігається до функції рівномірно на , то вона збігається до в ; 2) якщо збігається до функції рівномірно на , то вона збігається до в ; 3) якщо збігається до функції в , то вона збігається до на за мірою; 4) якщо збігається до функції на за мірою, то вона збігається до на майже скрізь; 5) якщо збігається до функції за мірою, то існує підпослідовність послідовності , яка вона збігається до на майже скрізь .

Приклад 1. Послідовність

скрізь на збігається до і . Отже, якщо послідовність збігається майже скрізь, то вона не обов’язково збігається в .

Приклад 2. Послідовність

рівномірно на збігається до , і . Таким чином, якщо , то твердження теореми 1 не є справедливим.

Приклад 3. Якщо

то і .

Приклад 4. Якщо

рівномірно на збігається до , і . Таким чином, взаємозв’язки між різними типами збіжностей у просторах є складнішими, якщо .

20. Цілком обмежені множини і простори. Множина називається обмеженою в метричному просторі , якщо вона лежить в деякій кулі , тобто якщо . Якщо нормований простір, тобто відстань на ньому задана за допомогою норми формулою , то остання умова рівносильна наступній: . Підмножина метрично­го простору називається -сіткою множини , якщо для кожного знайдеться таке , що . -сітка може множини може не мати з спільних точок.

Теорема 1. Якщо множина має скінченну -сітку , то вона має скінченну -сітку .

Доведення. Справді, нехай –скінченна –сітка множини , –такий елемент, що (можна вважати, що таке , бо в протилежному випадку можна вилучити із ). Тоді множина є шуканою -сіткою. ►

Множина називається цілком обмеженою, якщо для кожного існує скінченна множина , яка є її -сіткою.

Теорема 2. Якщо множина є цілком обмеженою в метричному просторі , то вона є обмеженою в .

Доведення. Нехай –скінченна –сітка множини . Тоді для кожного знайдеться , для якого . Тому , тобто множина є обмеженою. ►

Твердження. обернене до теореми 1, не обов'язково є справедливим (дивись нижче). Якщо ж – скінченновимірний нормований простір, то множина є цілком обмеженою в тоді і тільки тоді, коли вона є обмеженою в .

Метричний простір називається цілком обмеженим, якщо для кожного він має скінченну -сітку.

Приклад 1. В просторі множина утворює -сітку, якщо , а множина утворює множина -сітку, якщо .

Приклад 2. В просторі цілі числа утворюють -сітку, якщо , а множина , де , утворюють -сітку, якщо .

Приклад 3. В просторі множина утворюють -сітку, якщо , а множина утворюють -сітку, якщо .

Приклад 4. В просторі множина утворюють -сітку, якщо , а множина , де , є -сіткою.

Приклад 5. В просторі множина утворює -сітку, якщо , а множина утворює -сітку, якщо .

Приклад 6. В просторі множина утворює -сітку, якщо . Таким чином, в просторі множина є цілком обмеженою тоді і тільки тоді, коли вона є обмеженою.

Приклад 7. В просторі множина утворює -сітку, якщо .

Приклад 8. В просторі а множина утворює -сітку, якщо .. Таким чином, в просторі множна є цілком обмеженою тоді і тільки тоді, коли вона є обмеженою.

Приклад 10. Множина , яка складається з точок (векторів): , ,... є обмеженою в , проте для вона не має скін­ченної -сітки, бо , якщо , і тому -сітки з елементів множини не існує. Таким чином, в нескінченновимірному евклідовому просторі не кожна обмежена множина є цілком обмеженою .

Приклад 11. Послідовність , де Множина , яка складається з точок (векторів): , ,... є обмеженою в , проте вона не має збіжної підпослідовності.

15. Компактність. Умови існування збіжної підпослідовності. Нехай – деякий метричний простір. Сукупність множин простору називається покриттям множини , якщо . Якщо всі множини є відкритими в , то покриття називається відкритим. Простір називається компактним або компактом, якщо кожне його відкрите покриття множинами , відкритими в , містить скінченне підпокриття , . Множина називається компактом в , якщо кожне відкрите покриття множини множинами , відкритими в , містить скінченне підпокриття , . Можна також сказати, що множина називається компактом, якщо –компактний підпростір простору . Множина називається відносно компактною в (інколи її називають передкомпактною або компактною), якщо її замикання є компактом в .

Теорема 1. Нехай –метричний простір. Наступні умови є еквівалентними:

1) –компактний простір;

2) для кожної послідовності точок простору точок існує збіжна в її підпослідовність;

3) простір є повним і цілком обмеженим.

Теорема 3. Нехай –деяка підмножина повного метричного простору . Наступні умови є еквівалентними:

1) множина є компактом в ;

2) для кожної послідовності точок множини існує її підпослідовність, збіжна в до деякої точки ;

3) множина є замкненою і цілком обмеженою в .

Теорема 4. Нехай –деяка підмножина повного метричного простору . Наступні умови є еквівалентними:

1) множина є відносно компактною в ;

2) для кожної послідовності точок множини точок існує збіжна в її підпослідовність;

3) множина є цілком обмеженою в .

В просторі множина є цілком обмеженою тоді і тільки, коли вона є обмеженою.

Теорема 5. Нехай –деяка підмножина нормованого простору . Наступні умови є еквівалентними:

1) множина є компактом в ;

2) для кожної послідовності точок множини існує її підпослідовність, збіжна в до деякої точки ;

3) множина є замкненою і обмеженою в .

Теорема 6. Нехай –деяка підмножина нормованого простору . Наступні умови є еквівалентними:

1) множина є відносно компактною в ;

2) для кожної послідовності точок множини існує збіжна в її підпослідовність;

3) множина є обмеженою в .

Наслідок 6 (лема Гейне-Бореля-Лебега). Для кожного покриття замкненого проміжка множинами, відкритими в , існує скінченне підпокриття.

Приклад 1. Множина є компактом в , оскільки вона є замкненою і обмеженою.

Приклад 2. Множина не є компактом в , оскільки вона не є замкненою, але ця множина є відносно компактною в , бо є обмеженою .

Приклад 3. Множина є відносно компактною в тоді і тільки тоді, коли вона обмеженою в і

. (1)

Справді, якщо для обмеженої множини умова (1) виконується, то для заданого знайдемо таке , що для всіх , і позначимо через –підмножину простору , яка складається із тих елементів , для яких для всіх . Тоді для кожного знайдеться таке , що . Множина є обмеженою в . Отже, множина тих , для яких є обмеженою в . Тому має в скінченну -сітку . Приходимо до висновку, що множина є скінченною -сіткою множини . Навпаки, якщо множина є відносно компактною, то вона є обмеженою. Покажемо. що виконується (1). Нехай –скінченна -сітка множини . Тоді для кожного знайдеться таке , що . Крім цього, знайдеться таке , що для всіх виконується . Тоді, використовуючи нерівність , отримуємо

,

звідки випловає (1).

Приклад 4. Множина тих , для яких і для всіх , є відносно компактною в , оскільки ряд є збіжним і тому умова (1) виконується.

Приклад 5. Множина , , є відносно компактною в тоді і тільки тоді, коли вона обмеженою в і .

Приклад 6. Множина є відносно компактною в тоді і тільки тоді, коли вона покординатно обмежена, тобто коли існує така послідовніссть комплексних чисел, що . Справді, це так, бо збіжність рівносильна покоординатній збіжності.

Множина називається рівномірно обмеженою на , якщо

, (1)

тобто, якщо

. (2)

Іншими словами, множина називається рівномірно обмеженою на , якщо вона є обмеженою в . Множина називається одностайно неперервною на , як­що

. (3)

Теорема 1 (Арчела). Для того, щоб для кожної послідовності точок множини існувала її підпослідовність, збіжна в до деякої функції , необхідно і достатньо, щоб множина була: а) рівномірно обмеженою на ; б) одностайно неперервною на .

Приклад 7. Множина функцій є відносно компактною в , бо і .

Приклад 8. Множина функцій не є відносно компактною в . Справді, оскільки

,

то для множина не має скінченної –сітки. Отже, не є цілком обмеженою. Тому не є відносно компактною.

Приклад 9. Множина всіх функцій , де і , є відносно компактною в . Справді,

і

Тому розглядувана множина є обмеженою і одностайно неперервною.

45