2.2. Тригонометричні ряди Фур’є

Тригонометричним рядом Фур’є функції на інтервалі за загальною тригонометричною системою функцій

(48)

називається функціональний ряд виду

, (49)

коефіцієнти якого визначаються за формулами

, (50)

(51)

(52)

Приклад 1. Розвинути за загальною тригонометричною системою функцій (48) на відрізку функцію

Функція задається різними аналітичними виразами на різних ділянках інтервалу . Тому для обчислення інтегралів, які містять цю функцію, представимо їх у вигляді суми двох інтегралів: від – 1 до 0 і від 0 до 1;

Обчислимо одержані інтеграли.

.

Звідси отримуємо, що

Обчислимо :

Обчислимо :

Обчислимо одержані інтеграли.

Це дозволяє обчислити остаточно :

.

Отже, розвинення даної функції в ряд Фур’є за загальною тригонометричною системою функцій (1) набирає вигляду

Відомо, що якщо функція парна, тоді при її інтегруванні за симетричними межами справедлива формула

(53)

Якщо функція непарна, тоді інтеграл від неї за симетричними межами дорівнює нулю

. (54)

Такі властивості визначених інтегралів від парних та непарних функцій дозволяють отримати частинні випадки тригонометричного ряду (49).

Якщо функція парна, то підінтегральна функція у (52) буде непарною. Тоді у розвиненні (49) , а

(55)

Якщо функція − непарна, то підінтегральна функція у (51) буде непарною. Тоді у розвиненні (49) , а

. (56)

Приклад 2. Розвинути в ряд Фур’є за загальною тригонометричною системою (1) на інтервалі функцію .

Ця функція є непарною; тому всі і дорівнює нулю; стосовно , то для їх обчислення можна скористатися формулою (56)

Отже,

Крім тригонометричного ряду Фур’є (2) за повною тригонометричною системою функцій (48) має місце ряд Фур’є за системою функцій

(57)

для функції , яка визначена на несиметричному інтервалі . Такий ряд називається рядом Фур’є за синусами

. (58)

Його коефіцієнти визначаються за формулами

. (59)

Приклад 3. Розвинути в ряд Фур’є за синусами на інтервалі функцію .

Обчислимо коефіцієнти цього ряду:

. (60)

Обчислимо окремо інтервали в дужках. Перший інтеграл обчислюється за формулою інтегрування частинами

Другий інтеграл у дужках формули (60) обчислюється так

.

Підстановка одержаних результатів у формулу (60) дає

(61)

Використання (61) в (58) для дає таке розвинення

(62)

Функція , яка визначена на інтервалі , може бути розвиненою також за системою

(63)

Такий ряд Фур’є називається рядом Фур’є за косинусами

. (64)

Його коефіцієнти визначаються за формулами

. (65)

Приклад 4. Розвинути в ряд Фур’є за косинусами на інтервалі функцію .

Обчислимо коефіцієнти цього ряду

. (66)

Обчислимо окремо інтеграли в дужках. Перший інтеграл обчислюється за формулою інтегрування частинами

Другий інтеграл у дужках формули (66) обчислюється так

.

Підстановка одержаних результатів у формулу (66) дає

Таким чином, функція розкладається у ряд Фур’є за косинусами на інтервалі таким чином

. (67)

Ряди (62) і (66) різні, але на інтервалі вони збігаються до однієї функції.