2.6. Рівняння прямої і площини

2.6.1. Канонічне рівняння прямої

Нехай дано яку-небудь пряму L і ненульовий вектор , що лежить на даній прямій або паралельний їй (Рис. 2.6)

L

M

M₀

Рис. 2.6

Вектор називається напрямним вектором даної прямої. Виведемо рівняння прямої, що проходить через точку і має даний напрямний вектор або .

Нехай довільна точка. Ця точка лежить на прямій L тоді і лише тоді, коли вектор колінеарний напрямному векторові , тобто, коли координати вектора пропорційні координатам вектора :

(1)

Рівняння (1) є шуканим. Його називають канонічним рівнянням прямої.

2.6.2. Параметричне рівняння прямої

Нехай пряму L задано у просторі точкою і напрямним вектором . Позначимо через довільну точку прямої, а через і – радіуси-вектори її точок і відповідно. Вектори і колінеарні при будь-якому положенні точки на прямій L. Запишемо умову їх колінеарності у векторній формі

(2)

Рівняння (2) – це векторне рівняння прямої у просторі. Позначимо координати точок і відносно прямокутної системи координат у просторі через і відповідно, а координати напрямного вектора – через , тобто . Числа a, b, c називаються напрямними коефіцієнтами прямої. Якщо вектор є ортом, то , де – кути, які пряма (2) утворює з координатними осями.

Лінійне векторне рівняння виду (2) еквівалентне трьом рівнянням, вираженим у координатах векторів, що входять до його складу

,

або

звуться параметричними рівняннями прямої у просторі.

2.6.3. Рівняння прямої, яка проходить через дві задані точки

Нехай пряму L задано у просторі двома її точками і .Тоді вектор – напрямний вектор даної прямої. Отже, його координати можна визначити за такими формулами

і підставивши замість a, b, c їхні вирази у канонічне рівняння прямої, дістанемо

(3)

–рівняння прямої, що проходить через дві задані точки.

2.6.4. Кут між двома прямими. Умови перпендикулярності й паралельності двох прямих

Нехай дві прямі задано у просторі їх канонічними рівняннями

(4) і (5)

Кутом між двома прямими у просторі називатимемо кут, утворений двома прямими простору, що проходять через одну точку й відповідно паралельні даним прямим.

Зазначимо, що один із двох кутів між прямими (4) і (5) дорівнює куту φ між напрямними векторами і , а інший кут π-φ.

Теорема. Коли дві прямі у просторі задані канонічними рівняннями (4), (5), то кут φ між ними визначається за формулою

(6)