3.3. Применение алгебры логики к синтезу и анализу цифровых (релейных) схем

Алгебра логики, созданная в XIX в. известным английским математиком Джорджем Булем, является алгеброй двух чисел. Каждый отдельный аргумент в алгебре логики может принимать только два значения: «истинно», условно обозначаемое 1, и «ложно», условно обозначаемое 0. Алгебра логики занимается исчислением высказываний или предложений, которые могут рассматриваться как истинные или ложные.

Алгебра логики позволяет записать входные и выходные сигналы элементов цифровых схем в виде буквенных обозначений, а функциональные зависимости между входными и выходными сигналами — в виде алгебраических формул, в которых связи между переменными выражаются специальными логическими символами. Полученные алгебраические выражения будут характеризовать функцию, выполняемую данным элементом.

Так как функции, выполняемые элементами цифрового устрой­ства, можно выразить с помощью логических формул, то такие функции называются логическими, а элементы, реализующие эти логические функции, — логическими элементами.

Рассмотрим основные логические элементы, которые служат основой для построения любых цифровых схем.

В

Рис.3.1. Логический элемент ИЛИ

ыход логического элемента ИЛИ имеет ВЫСОКИЙ уровень, если ВЫСОКИЙ уровень присутствует хотя бы на одном из его входов. Этот элемент реализует дизъюнкцию – логическую операцию ИЛИ. На рис. 3.1, показан логический элемент ИЛИ на 2 входа (слева – изображение в иностранной литературе, справа – в отечественной, а также иллюстрация функции ИЛИ с помощью контактов). В общем случае число входов не ограничено, однако в стандартном корпусе микросхемы обычно размещаются четыре 2-входовых элемента, три 3-входовых или два 4-входовых. Для обозначения операции ИЛИ в булевой алгебре и с пользуются символы + .Функция «А ИЛИ В» записывается как А+В (Х₁ +Х₂). Таблица состояний для элемента ИЛИ выглядит следующим образом:

Выход логического элемента И имеет ВЫСОКИЙ уровень только в том случае, если ВЫСОКИЙ уровень присутствует на всех его входах. Этот элемент реализует конъюнкцию – логическую операцию И. Символическое изображение элемента И п риведено на рис. 3.2 (слева – и

Рис.3.2. Логический элемент И

зображение в иностранной лите- ратуре, справа – в отечественной, а также иллюстрация функции И с помощью контактов). Выпускаемые промышенностью логические элементы И, так же как и элементы ИЛИ, могут иметь 2, 3, 4, а иногда и большее число входов. Для обозначения операции И в булевой алгебре используются символы . Функция «А И В» записывается как А В , или просто АВ. Таблица состояний для элемента И выглядит следующим образом:

Часто бывает нужно получить дополнение (инверсию) логического сигнала. Эту функцию выполняет инвертор — логический элемент, имеющий только один вход. Символическое изображение инвертора (элемента НЕ) приведено на рис. 3.3 (слева – изображение в иностранной литературе, справа – в отечественной).

Д ля обозначения операций НЕ в булевой алгебре используется черта над символом, а иногда апостроф; «НЕ А» записывается как или как А'.

Т аблица состояний для элемента НЕ выглядит следующим образом:

Рис.3.3. Логический элемент НЕ

Логические элементы могут совмещать инвертирование с выполнением функций И и ИЛИ. Как вскоре будет показано, такие элементы имеют более широкое распространение, чем просто И и ИЛИ (рис. 3.4).

Рис.3.4.

Таблицы состояний элементов И-НЕ и ИЛИ-НЕ выглядят следующим образом:

Существенный интерес представляет логическая функция «Исключающее ИЛИ», хотя она и не относится к числу основных (рис. 3.5). На выходе элемента «Исключающего ИЛИ» ВЫСОКИЙ уровень действует на выходе тогда, когда входы имеют различное состояние. Этот элемент может иметь только два входа. Операция «Исключающее ИЛИ» идентична сложению 2-х бит по модулю 2. Таблица состояний:

Э

Рис.3.5.

тот элемент также может совмещать инвертирование с выполнением основной функции «Исключающее ИЛИ-НЕ», и тогда ВЫСОКИЙ уровень действует на выходе тогда, когда входы имеют одинаковое состояние.