2.4. Собственные колебания механической системы с распределенными параметрами с учетом демпфирования
Как видно из представленных на рис.8 и рис.9 графиков, изменение геометрических размеров трубы, а следовательно ее жесткости и массы, а также плотности транспортируемого продукта может привести к принципиальному изменению численного значения собственной частоты даже в предельно упрощенном варианте расчетной схемы (рассматриваются всего два силовых фактора).
Но реальные системы находятся в более сложных условиях нагружения, что ведет к необходимости учета при анализе технического состояния большего количества силовых факторов и более сложных условий закрепления, чем рассмотренные в предыдущем примере. Рассмотрим влияние на численные значения собственных частот механической системы таких реально действующих силовых факторов, как упругая реакция грунта (для подземных и проложенных по поверхности земли трубопроводов) и демпфирование.
Рассмотрим самый простой вариант расчетной схемы, то есть будем считать, что трубопровод-балка находится под воздействием сил собственного веса, упругой реакции материала трубы и реакции грунта. В качестве модели грунта рассмотрим вариант упругого основания. Таким образом, в качестве расчетной схемы проложенного по поверхности земли трубопровода используем балку на упругом основании. Тогда уравнение движения трубопровода будет иметь вид
|
(33) |
.
где k - коэффициент упругой податливости основания (грунта);
kу(х,t) - сила упругой реакции основания (грунта).
После введения безразмерной координаты =x/l уравнение (33) примет вид
|
(33) |
.
Введем обозначения
,
.
Тогда последнее уравнение можно представить в виде
|
(34) |
.
Согласно методу Фурье, решение уравнения (34) следующие:
|
(34) |
,
в котором функции формы и времени не равны тождественно нулю. Подставим искомое решение в виде (35) в уравнение (34). Получим уравнения для каждого слагаемого в выражении (35), поэтому индекс i опускаем,
|
|
.
Вынесем не равные тождественно нулю функции формы и времени за скобки и получим, что
|
(36) |
.
После элементарного преобразования находим
|
|
.
Левая часть последнего равенства является функцией безразмерной координаты , а правая часть - функцией времени t. Поэтому левая и правая части должны быть равны постоянной величине, которую обозначим как r4. Таким образом вместо одного уравнения (36) относительно двух переменных и t имеем два уравнения, каждое из которых является уравнением относительно одного переменного соответственно и t. Эквивалентная (36) система уравнений имеет вид
|
(37) |
.
Уравнения системы (37) можно переписать в виде
|
(38) |
.
где
|
|
.
В технической диагностике принято использовать следующее обозначение:
|
(39) |
.
которое совпадает с выражением (32).
Первое уравнение системы (38), определяющее функцию формы, фактически идентично (29) и отличается лишь численным значением постоянной величины r4.
Функция времени находится из второго уравнения системы (38) и согласно изложенному выше материалу определяется по выражению
|
(39) |
,
которое аналогично выражению функции времени в (28).
Таким образом, усложнение расчетной схемы за счет замены двух расположенных по концам трубопровода опор упругим основанием не изменило значений собственных частот трубопровода, но привело к изменению функции формы за счет изменения численного значения коэффициента в аргументе функции формы.
Рассмотрим влияние демпфирующих свойств механической системы на спектр собственных частот. При этом для простоты вычислений в качестве сил демпфирования учитываем лишь внутреннее трение материала трубы и не учитываем внешнего затухания.
Поскольку силы демпфирования нельзя оценить с такой же точностью, как силы упругой реакции и силы инерции, то строгое математическое моделирование демпфирования невозможно. Тем не менее для объяснения диссипативных сил конструкции следует сделать предположение о виде демпфирования, что позволяет оценить демпфирующие силы на практике. Кроме того, вид демпфирования должен соответствовать простым математическим операциям, используемым для анализа линейных уравнений движения ‑ это означает, что при гармоническом возбуждении силы демпфирования также должны изменяться по гармоническому закону. Двумя такими формами демпфирования являются вязкое и гистерезисное демпфирование. В данном случае используем модель вязкого демпфирования, согласно которой сила демпфирования пропорциональна мгновенной скорости.
При данной расчетной схеме (учитываем три силовых фактора) уравнение движения трубопровода с учетом введения безразмерной координаты будет иметь вид
|
(40) |
.
где - коэффициент, характеризующий внутреннее трение материала, в данном случае играющий роль коэффициента демпфирования;
- сила демпфирования.
Решение уравнения (40) найдем способом, аналогичным нахождению решения уравнения (34). После подстановки искомого решения в виде (35) и проведения аналогичных уравнению (34) преобразований вместо уравнения (36) получим следующее уравнение
|
(41) |
,
которое после несложных преобразований приводится к виду
|
|
,
Левая и правая части последнего уравнения являются функциями разных переменных соответственно и t и поэтому должны равняться одной и той же постоянной величине, которую обозначим как r4. Тогда вместо одного уравнения (40) имеем систему двух уравнений, каждое из которых является уравнением относительно одной переменной соответственно и t
|
|
Первое уравнение для функции формы аналогично (29) и его решение находится по выражению (31). Введя обозначение, аналогичное (39), второе уравнение для функции времени можно привести к виду
|
|
,
где - собственная частота колебаний трубопровода-балки без затухания, определяемая по формуле (39).
Решение данного уравнения и, следовательно, функция времени зависят от соотношения между коэффициентами. Согласно изложенному выше, функция времени будет иметь вид
|
(42) |
.
Таким образом, частота собственных колебаний трубопровода-балки с учетом демпфирования
|
(43) |
.
Обычно малая величина. В этом случае значение частоты собственных колебаний при учете затухания может быть принято равным
.
Для случая
движение является апериодическим, что может привести к потере трубопроводом своей устойчивости, то есть сопровождаться неограниченным ростом численного значения параметров системы. В рассматриваемом случае потеря устойчивости означает неограниченный рост перемещения точек трубопровода, что неизбежно приведет к аварии. Полученный результат приводит к вопросу о том: может ли коэффициент демпфирования или, в более общей постановке, коэффициент при слагаемом в уравнении движения трубопровода, содержащим первую производную по времени, достигать значения, при котором движение системы может стать апериодичным.