13.3. Методы сглаживания временного ряда.

Построение линии тренда. Для выявления основной тенденции чаще всего используются методы регрессионного анализа. Значения временного ряда рассматриваются как зависимая переменная, а время – как объясняющая:

где - независимые одинаково распределенные случайные величины, имеющие нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием. В качестве функции наиболее часто используются следующие функции:

линейная – ,

полиноминальная –

экспоненциальная –

логистическая – .

Методы построения и анализа регрессионной зависимости изложены в работе № 12.

Методы скользящего среднего. В основе этих методов лежит факт, что дисперсия среднего арифметического случайных величин меньше, чем дисперсия одного из слагаемых. Так как дисперсия является мерой случайного разброса, то уменьшение дисперсии и означает сглаживание, то есть выделение неслучайной составляющей.

Для построения скользящей средней необходимо выбрать некоторую нечетную длину усреднения n=2m+1 (как правило, m не превышает трех), а затем сглаженное значение временного ряда вычислить по формуле

, , (13.5)

где – некоторые «весовые» коэффициенты, в сумме равные единице. Они могут быть вычислены на основе метода наименьших квадратов путем построения наилучшего аппроксимирующего полинома к отрезку временного ряда

. (13.6)

Причем можно показать, что значения весовых коэффициентов не зависят от того, для какого именно отрезка временного ряда (для какого значения t) был осуществлен их подбор.

Если отрезок временного ряда (13.6) приближается линейной функцией , то в качестве его сглаженного значения в точке t следует взять среднее арифметическое из 2m+1 значений (13.4), т. е.

, . (13.7)

Если отрезок временного ряда (13.6) аппроксимируется квадратичной функцией , то для 5 точек (m=2) метод наименьших квадратов дает следующую формулу вида (13.3) для определения сглаженного значения в точке t :

, (13.8)

Заметим, что формулы (13.5)-(13.8) не дают сглаженные значения в m первых и m последних точках временного ряда. Для их получения используются аппроксимирующие полиномы, построенные по первым 2m+1 элементам временного ряда и по последним 2m+1 элементам временного ряда.

Замечание 1. Методы скользящего среднего можно использовать для выделения тренда из модели, содержащей сезонную компоненту. Этот метод позволяет выравнивать тренд фактических значений через сглаживание сезонных колебаний.

Замечание 2. С помощью скользящих средних часто формализуют правила торговых стратегий. Например, рассмотрим простейшую торговую стратегию, широко используемую в 60-90 годах прошлого столетия американскими управляющими крупнейшими фондами. Если текущая стоимость индекса Доу-Джонса вчера пересекла снизу вверх график скользящей средней за 250 торговых дней (приблизительно год), то необходимо купить индекс. Если происходит противоположное пересечение (сверху вниз), то необходимо осуществить «короткую продажу» (как бы «занять» ценные бумаги и продать).