Розв’язання

Розв'яжемо систему рівнянь методом Жордана – Гауса. Запишемо розширену матрицю системи й зведемо її до діагонального вигляду методом елементарних перетворень. Спочатку віднімемо з другого рядка перший та з третього рядка перший, помножений на три, скоротимо одержані рядки:

.

Додамо до першого рядка другий та віднімемо з третього рядка другий, скоротимо одержані рядки:

.

Отже, маємо систему рівнянь

Змінні є базисними, а змінна є довільною і приймає будь-яке значення. Загальний розв'язок системи :

.

Загальний розв'язок залежить від однієї довільної сталої, тому система має лише один фундаментальний розв'язок, який знайдемо, покладаючи :

.

Задача 7. Написати розкладання вектора = по векторах = , = та = .

Розв’язання

Вектор допускає розкладання по векторах , , , якщо ці вектори лінійно незалежні, тобто якщо їхній мішаний добуток не дорівнює нулю:

Розкласти вектор по векторах , та – це значить представити його у вигляді лінійної комбінації цих векторів, тобто , де , та – коефіцієнти розкладання. У нашому випадку будемо мати рівняння:

.

Два вектори, що задані своїми координатами , рівні тоді і лише тоді, коли дорівнюють їхні однойменні координати. Зрівнявши відповідні координати, одержимо систему:

З першого рівняння знаходимо і підставляємо в друге та третє:

Додаючи друге та третє рівняння, одержимо , звідки .

З третього рівняння виразимо , отже .

Таким чином, розкладання вектора по векторах , , має вигляд:

.

Задача 8. Задані координати точок . Знайти кут між векторами та .

Розв’язання

Обчислимо координати векторів та та їхні довжини

,

.

Знайдемо скалярний добуток:

.

Обчислимо значення косинуса кута між векторами:

.

Задача 9. Обчислити площу паралелограма, побудованого на векторах та , якщо .

Розв’язання

Користуючись властивостями векторного добутку, обчислимо площу паралелограму як модуль векторного добутку векторів та :

.

Задача 10. Обчислити об’єм трикутної піраміди з вершинами , , , та її висоту, проведену з вершини на грань .

Розв’язання

Знайдемо координати векторів , і та їх мішаний добуток:

.

Об’єм трикутної піраміди обчислимо за формулою

.

Знайдемо векторний добуток векторів, які визначають основу піраміди:

.

Обчислимо площу трикутника як половину площі паралелограма, побудованого на векторах та :

.

Довжину висоти піраміди знайдемо з формули її об’єму , звідки

.

Задача 11. Задані точки A(-8,4) і B(16,22). Скласти рівняння прямої АВ та рівняння перпендикулярної до AB прямої, що проходить через середину відрізку АВ.

Розв’язання

Рівняння прямої, що проходить через дві точки і :

За умовою задачі одержимо

.

Напрямний вектор цієї прямої .

Координати точки , що лежить у середині відрізка між точками та , обчислимо за формулами:

Підставимо у формулу значення координат точок А і В. Тоді:

Вектор є нормальним вектором прямої перпендикулярної до прямої АВ. Отже, рівняння цієї прямої має вигляд

або .

Задача 12. Задані координати точок , , , . Скласти рівняння площини ABC і знайти відстань від точки D до цієї площини. Знайти точку D' симетричну точці D відносно площини ABC.

Розв’язання

Нехай –довільна точка площини ABC. Тоді вектори

, та компланарні, тому

Обчислимо цей визначник:

Розкриємо дужки, зведемо подібні доданки та скоротимо на 2. Одержимо рівняння площини ABC:

Помножимо загальне рівняння площини на нормувальний множник

,

який беремо із знаком “+”, бо вільний член рівняння площини від'ємний.

Одержимо нормальне рівняння площини АВС:

Відстань від точки D до площини ABC знайдемо, підставивши координати точки D у ліву частину нормального рівняння площини і взявши модуль отриманого результату:

.

Для визначення координат точки D', яка симетрична точці D відносно площини ABC, складемо рівняння прямої, що проходить через точку перпендикулярно цій площині. За напрямний вектор прямої візьмемо нормальний вектор площини ABC: . Отже, рівняння прямої

Обчислимо координати точки перетину цієї прямої з площиною ABC. Параметричні рівняння прямої

Для визначення t в точці перетину прямої та площини, підставимо x, y та z з параметричних рівнянь у рівняння площини:

.

Підставивши у параметричні рівняння прямої, одержимо координати точки перетину прямої та площини:

Точка поділяє відрізок навпіл, тому

З останніх трьох рівнянь одержимо

Таким чином, .

Задача 13. Задані координати точки та рівняння двох площин Р₁: та Р₂: . Знайти кут між площинами. Скласти канонічне рівняння їх лінії перетину.