2.5.2. Примеры решения задач

ЗАДАЧА 1. Бесконечно длинный проводник изогнут так, как по­казано на рис. 2.5.1. Радиус дуги окружности R = 10 см. Определить магнитную индукцию поля, создаваемого в точке О током I = 80 А, текущим по этому проводнику.

ДАНО: R = 0,1 см I = 80 А

– ?

А НАЛИЗ. Задача на принцип суперпозиции магнитных полей. Применение закона Био-Савара-Лапласа для определения магнитной индукции поля сложного проводника требует весьма трудоемких математических манипуляций. Чтобы избежать этих трудностей, разобьем проводник на простые части – прямые проводники и элементы окружности, таким образом, чтобы индукция, создаваемая каждой частью, определялась известной формулой. Для определения результирующего вектора воспользуемся принципом суперпозиции , где – индукция, создаваемая в данной точке -той частью проводника.

РЕШЕНИЕ. Разобьем проводник на три части (АC, СDF, FE, рис. 2.5.1). Индукция магнитного поля в точке О, согласно принципу суперпозиции полей, может быть найдена как векторная сумма индукций магнитных полей, соз­данных токами, протекающими по участ­кам проводника АC, СDF, FE

. (2.5.1)

Точка О лежит на оси проводника 1 АС, согласно закону Био-Cавара-Лапласа . Векторы и , согласно правилу правого винта, направле­ны перпендикулярно плоскости чертежа за нее, поэтому (2.5.1) мож­но записать в скалярной форме

, (2.5.2)

где – индукция поля половины кругового витка в его центре, Индукция В₃ создается прямолинейным проводником и определяет­ся по формуле

Причём тогда Из выражения (2.5.2) имеем

.

Проверим размерность:

.

Подставив значения, получаем: Тл.

ОТВЕТ: Тл.

ЗАДАЧА 2. Тонкая лента шириной свернута в трубку радиусом R (рис.2.5.2). По ленте течет равномерно распределенный по ее ширине ток I. Определить модуль вектора магнитной индук­ции в произвольной точке на оси трубки.

ДАНО: R I

B – ?

АНАЛИЗ. Для решения данной задачи воспользуемся принципом суперпозиции магнитных полей. Рассматриваемый проводник нельзя считать линейным током, поэтому непосредственно применять закон Био-Савара-Лапласа нельзя. Разделим трубку на узкие кольца шириной dy. Рассмотрим кольцо, расположенное на расстоянии y от произвольной точки A₁ на оси трубки. Такое кольцо можно считать тонким круговым током с силой тока dI

Этот круговой ток создает в точке А₁ магнитную индукцию

(2.5.3)

Все элементы имеют одинаковое направление против оси Y, поэтому индукция, создаваемая в точке А₁ всей трубкой, равна

(2.5.4)

Рис. 2.5.2

РЕШЕНИЕ. Для решения интеграла (2.5.4) сделаем следующую подстановку:

где – угол, под которым радиус кольца R виден из точки А₁ . Тогда

,

и выражение (2.5.3) принимает вид

Угол изменяется в пределах от до , где b – расстояние от точки А₁ до правого края ленты.

Магнитная индукция в точке А₁, согласно (2.5.4), равна

Проверим размерность:

.

Рассмотрим различные частные случаи.