6. Содержание отчета

1. Формулы для расчета надежности нерезервированных и резервированных невосстанавливаемых систем.

2. Решение задачи № 3 для заданных исходных данных (в соответствии с вариантом).

3. Распечатка (Print Screen) компьютерной программы с результатами расчета (в соответствии с вариантом).

4. Выводы по полученным результатам.

7. Контрольные вопросы

1. Понятие о структурной схеме надежности (ССН).

2. Способы соединений элементов в ССН. Определение вероятности безотказной работы и средней наработки до отказа схем при:

• последовательном соединении элементов;

• параллельном соединении элементов;

• последовательно–параллельном (смешанном) соединении элементов.

3. Понятие резервирования. Виды резервирования. Способы структурного резервирования.

4. Расчет надежности невосстанавливаемых систем с постоянным общим резервированием.

5. Расчет надежности невосстанавливаемых систем с раздельным (поэлементным) резервированием.

6. Расчет надежности невосстанавливаемых систем с общим резервированием способом замещения.

Лабораторное занятие № 3

ТЕМА ЗАНЯТИЯ: ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ВОССТАНАВЛИВАЕМЫХ

РЕЗЕРВИРОВАННЫХ СИСТЕМ

1. Цель занятия

1.1. Получить и закрепить необходимые теоретические знания по расчету надежности восстанавливаемых резервированных систем.

1.2. Получить практические навыки в решении задач по расчету надежности восстанавливаемых резервированных систем с использование ЭВМ.

.

2. Теоретические основы

2.1. Показатели надежности восстанавливаемых систем

Для восстанавливаемых систем характерно чередование периодов безотказной работы и периодов восстановлений (рис. 3.1). Длительности периодов безотказной работы и периодов восстановлений являются случайными величинами. Сам процесс эксплуатации таких систем можно рассматривать как совокупность двух процессов:

• случайного процесса отказов;

• случайного процесса восстановлений.

Рис. 3.1

И тот и другой процессы представляют собой потоки случайных событий:

1. Поток отказов с интенсивностью .

2. Поток восстановлений с интенсивностью μ.

Надежность восстанавливаемых систем включает в себя два свойства: безотказность (свойство, связанное с потоком отказов) и ремонтопригодность (свойство, связанное с потоком восстановлений). Поэтому для оценки надежности восстанавливаемых систем используют:

1) показатели безотказности;

2) показатели ремонтопригодности;

3) комплексные показатели, учитывающие одновременно свойства безотказности и ремонтопригодности.

Рассмотрим эти виды показателей.

Показатели безотказности

В пределах любого i – го отдельного интервала безотказной работы (рис. 3.1) для восстанавливаемых систем (объектов) справедливы все показатели безотказности, рассмотренные для невосстанавливаемых систем: P(t), Q(t), f(t), (t), T_o, если считать за начальный момент времени t = 0 начало i – го интервала безотказной работы.

Кроме этих показателей безотказности, используются и дополнительные показатели безотказности, учитывающие процессы отказов и восстановлений, характерные именно для восстанавливаемых систем:

1. Параметр потока отказов

, (3.1)

где , – математическое ожидание числа отказов за время t +  t и t соответственно.

Статистически параметр потока отказов равен:

, (3.2)

где – суммарное число отказов i – го испытуемого образца на интервале времени (от t до t + );

– суммарное число отказов, возникших во всех объектах на интервале времени ;

– среднее число отказов на интервале , приходящееся на один испытуемый объект:

(3.3)

2. Средняя наработка на отказ Т_ср= Т_р.ср

(3.4)

или

(3.5)

Т_ср – это среднее время безотказной работы между двумя соседними отказами (i – 1) – м и i – м восстанавливаемого объекта.

, (3.6)

, (3.7)

где – суммарное время безотказной работы i – го образца;

– суммарное число отказов i – го образца за время испытаний.

3. Вероятность возникновения (появления) некоторого числа n отказов на интервале времени (0, t) определяется формулой закона Пуассона (для простейшего потока):

,

,

. (3.8)

При числе отказов n = 0 формула (3.8) примет вид:

и будет определять вероятность безотказной работы восстанавливаемой системы за время t.

Показатели ремонтопригодности

1. – вероятность восстановления работоспособного состояния объекта за время t. Она представляет собой интегральную функцию распределения случайной величины (рис. 3.2):

, (3.9)

г

Рис. 3.2

де – время восстановления работо-способного состояния объекта.

Функция с вероятностной точки зрения идентична рассмотренной ранее функции Q(t) и имеет такие же свойства.

Статистически (по результатам испытаний) вероятность определяется по формуле:

, (3.10)

где – число объектов, восстановленных за время t;

– число объектов, поставленных на восстановление.

2. – плотность вероятности восстановления работоспособного состояния объекта (частота восстановления, плотность (закон) распределения времени восстановления ). Данный показатель , являясь дифференциальной функцией распределения случайной величины , определяется через производную от интегральной функции:

, (3.11)

где μ – интенсивность восстановления работоспособного состояния объекта.

Установим связь вероятности с характеристиками и μ. Запишем уравнение (3.11) в виде и, после интегрирования обеих частей, получим:

,

. (3.12)

Вероятность является возрастающей экспонентой.

Статистическая оценка показателя :

, (3.13)

где – число объектов, восстановленных в интервале времени t.

3. μ(t) – интенсивность восстановления объекта за время t. Она определяется, как условная плотность вероятности восстановления объекта в момент времени t при условии, что до этого момента времени t восстановления объекта не произошло:

.

Для экспоненциального закона восстановления (3.12) характеристика μ(t) является постоянной μ(t) = μ в течении нормальной эксплуатации и ее точное значение равно:

, (1/ч) (3.14)

где – среднее время восстановления объекта.

Статистически интенсивность восстановления равна:

, (3.15)

где – число невосстановленных объектов за время t.

4. – среднее время восстановления объекта (математическое ожидание случайной величины ).

Т.к. случайная величина является непрерывной, то

. (3.16)

Приведем интеграл (3.16) к табличному виду , для чего введем следующие обозначения t = u, , , . После подстановки значений в (16), получим:

. (3.17)

Окончательно получим:

. (3.18)

Определим связь между характеристиками Т_в и μ.

Для этого подставим в правую часть уравнения (3.17) значение вероятности и получим:

. (3.19)

Статистическая оценка показателя :

, (3.20)

где – суммарное время, затраченное на восстановление всех возникших отказов у i – го испытуемого объекта за время t;

– суммарное время восстановления всех образцов.

Учитывая, что для восстанавливаемых систем число восстановлений равно числу отказов и каждый испытуемый объект за время испытаний может иметь несколько отказов, то характеристику (для удобства вычисления) можно определить по следующей формуле:

, (3.21)

где – суммарное число отказов, возникших у i – го объекта за время испытаний t.

В формуле (3.21) верхнее значение N_ов в знаках суммирования можно заменить числом N_о , т.е. общим числом объектов, поставленных на испытание. В этом случае для не отказавших объектов соответствующие значения и будут равны 0. Тогда статистическая оценка будет иметь вид:

. (3.22)

Выражения (3.21) и (3.22) определяют характеристику как среднее время, затрачиваемое на восстановление одного отказа в одном объекте.

Комплексные показатели

Учитывают безотказность и ремонтопригодность одновременно. Граф состояний восстанавливаемой нерезервирвированной системы представлен на рис. 3.3.

G₀ – работоспособное состояние;

G₁ – неработоспособное состояние;

λ – отказ с интенсивностью λ;

μ – восстановление с интенсивностью μ.

Рис. 3.3

1. Коэффициент готовности:

, (3.23)

где – вероятность нахождения системы в состоянии ;

– средняя наработка на отказ восстанавливаемой системы. Она численно равна средней наработке до отказа Т_о для одного интервала безотказной работы, т.е. = . Тогда ;

– характеризует среднюю относительную долю времени нахождения системы в работоспособном состоянии.

Поэтому численно определяет вероятность того, что объект окажется в работоспособном состоянии в произвольный момент времени t.

Учитывая, что , а , получим:

. (3.24)

Статистически определяется:

, (3.25)

где – суммарное время безотказной работы i – го образца;

– суммарное число отказов i – го образца.

2. Коэффициент простоя:

, (3.26)

где – вероятность нахождения системы в состоянии .

– характеризует относительную долю времени нахождения системы в режиме восстановления.

численно определяет вероятность того, что объект окажется неработоспособным в произвольно выбранный момент времени t.

. (3.27)

Статистически, по аналогии с (3.25), равен:

, (3.28)

П

ричем:

, (3.29)

т.к. .

3. Коэффициент технического использования:

, (3.30)

, (3.31)

где – среднее время, затрачиваемое на проведение всех видов плановых технических обслуживаний на один объект:

;

– суммарное время, затрачиваемое на проведение всех видов ТО i – го объекта.