Завдання до розділу 1

Усні питання для повторення матеріалу

1. Чому вектор не можна намалювати на рисунку?

2. Навіщо ми доводили, що суми рівних напрямлених відрізків рівні між собою?

3. Куди напрямлений нульовий вектор?

4. Чому два рівнобіжних вектори завжди лінійно залежні?

5. Чому дорівнює розмірність простору, складеного з векторів, які паралельні однієї площини?

6. Яким чином координати вектора допомагають увести поняття координат точки?

7. Запропонуйте своє формулювання правила правої руки для визначення орієнтації базису.

Контрольні задачі

1. Дано трикутник ABC. Знайдіть таку точку М, щоб . Доведіть, що ця точка є точкою перетинання медіан і вона ділить кожну з медіан у відношенні 1:2. Розв’яжіть задачу використовуючи радіуси-вектори.

2. Дано чотирикутник ABCD. Знайдіть таку точку М, щоб .

3. Дано тетраедр ABCD. Знайдіть точку M, для якої . Знайдіть загальний розв’язок для цих двох задач.

4. Доведіть, що сума векторів, які йдуть з центра правильного багатокутника до його вершин, дорівнює . Користуючись розв’язком цієї задачі, спробуйте підтвердити (або спростувати) такі твердження:

а) центр мас фігури збігається з її центром симетрії;

б) центр симетрії фігури завжди є центром мас цієї фігури.

5. Доведіть основні нерівності трикутника.

Теми для індивідуальних науково-дослідних завдань.

1. Обчисліть скалярний добуток векторів через їхні координати в непрямокутних (афінних) системах координат. Поясніть, що таке коваріантні й контраваріантні координати та метричний тензор.

2. Доведіть, що криволінійні полярна, сферична й циліндрична системи відліку є прямокутними.

3. За аналогією до полярних координат, часто користуються і так званими еліптичними координатами. У цих системах координат координатними лініями є сімейство еліпсів, а не окружностей. Дослідіть такі координати. Яке значення мають у цих системах координати. Які інші координатні лінії є в такій системі?

Розділ 2. Добутки векторів

2.1. Кут між векторами.

2.2. Визначення скалярного добутку.

2.3. Властивості скалярного добутку.

Доказ дистрибутивності скалярного добутку векторів_______________

З визначеннЯ скалярного добутку , а . Праворуч у цих рівностях знаходяться скалярні добутки паралельних векторів. Їхні координати в базисі з ортом дорівнюють , , і .

Скалярні добутки цих паралельних векторів дорівнюють добуткові їхніх координат: , і . Тоді розподільний закон скалярного добутку векторів зводиться до співвідношення , що справедливе для звичайних чисел, а, отже, справедливим є також і вираз .____________________

2.4. Скалярний добуток у декартовому базисі.

.

2.5. Символ Кронекера.

2.6. Довжина вектора. Кут між векторами. Напрямляючі косинуси.

.

.

.

.

Ці кути визначають напрямок радіуса-вектора і тому їхні косинуси називають напрямними косинусами. З цих співвідношень одержуємо основне співвідношення для напрямних косинусів:

.

Рис. 2.1. Напрямні косинуси

Задача 2.1. Представити вектор у вигляді суми двох векторів, один із яких паралельний заданому ненульовому векторові , а другий перпендикулярний.

Розв’язок.

1) У задачі потрібно представити вектор у такому вигляді

,

де - паралельний векторові , а - перпендикулярний .

2) Для через його паралельність ненульовому векторові випливає існування такого числа , що . Тоді вектор дорівнює

.

3) Вектор перпендикулярний , отже, їхній скалярний добуток дорівнює нулю:

.

Із цього рівняння вже можна знайти величину :

.

4) Тепер можна виписати шуканий вираз для вектора :

.

Для перпендикулярної складової поки що (до наступного розділу) одержуємо такий вираз

.

5) Розв'язавши задачу, ми одержали загальну формулу для проекції одного вектора на інший, адже є ні що інше, як проекція вектора на вектор . У такий спосіб

. (6.22)

2.7. Визначення векторного добутку.

Визначення векторного добутку можна записати в такому вигляді:

(7.4)

а) б)

Рис. 2.2. Векторний добуток векторів:

а) визначення векторного добутку ;

б) векторний добуток ортів декартового базису .

2.8. Властивості векторного добутку.

2.9. Векторний добуток у декартовому базисі. Тензор Леві–Чівіта.

Векторний добуток ортів:

.

Для компактного запису значень коефіцієнтів використовується спеціальний символ , визначений у такий спосіб:

,

.

.

,

,

.

,

,

.

Сам же вектор дорівнює

.

Ці співвідношення дозволяють «скласти» ще одне правило для запам'ятовування координат векторного добутку.

Якщо ми хочемо знайти певний компонент векторного добутку, то ми після знака рівності пишемо позначення векторів у тому ж порядку, що і у векторному добутку:

Потім записуємо індекси в множників так, щоб вони складали циклічну послідовність ( , або ):

.

Далі ставимо знак мінус і знову пишемо позначення векторів, але індекси міняємо місцями:

.

Аналогічно робимо й з іншими компонентами, не забуваючи циклічно переставляти індекси.

2.10. Векторний добуток у декартовому базисі. Дво- й тривимірні визначники.

Визначник другого порядку

Векторний добуток:

; .

Визначник третього порядку

.

Навівши подібні, зауважуємо, що цей вираз можна записати в такому вигляді:

.

.

Векторний добуток:

.

Правило 1.

Правило 2.

Це правило допомагає запам'ятати співвідношення

за допомогою такого рисунка:

На рисунку лініями з'єднані коефіцієнти, що входять у відповідні добутки, а знаки плюс і мінус указують на знак, з яким цей добуток входить у визначник.

Правило 3. Використання додаткових стовпців.

Відповідно до цього правила достатньо праворуч від визначника дописати перший, а потім другий стовпець. Потім у визначник включають зі знаком плюс добуток коефіцієнтів, що стоять по головній діагоналі і паралельній їй діагоналях, а зі знаком мінус – коефіцієнти, що стоять по малій діагоналі й паралельній їй діагоналях.

Відомості про векторний добуток.

2.11. Визначення змішаного добутку.

.

Рис. 8.1. Мішаний добуток векторів (права трійка векторів)

1. Мішаний добуток у загальному випадку.

Тепер, виходячи з результатів пунктів 1, 2, 3, і визначення орієнтованого об'єму, одержуємо остаточний вираз для змішаного добутку:

.

____________________________________________________________________

8.2. Властивості змішаного добутку.

Змішаний добуток компланарних векторів дорівнює нулю:

Змішаний добуток, що містить два однакових вектори, дорівнює нулю.

Другу властивість ми одержимо, якщо спробуємо обчислити змішаний добуток, у якому вектори переставимо циклічно: . Результатом такого добутку буде об’єм того ж орієнтованого паралелепіпеда:

,

а, отже, циклічні перестановки співмножників у мішаному добутку не змінюють його.

Отже, звичайні перестановки змінюють знак змішаного добутку . Ці два правила можна представити таким ланцюжком рівностей:

.

.

Це властивість можна виразити у вигляді такого правила: у змішаному добутку знаки множення можна змінювати місцями.

.

– права трійка векторів;

– ліва трійка векторів.

Розподільний закон змішаного добутку можна довести, хоча б для одного з векторів у добутку, наприклад, для вектора, що стоїть на останньому місці:

.

Щоб довести цю рівність, достатньо представити змішаний добуток у його початковому вигляді:

,

а потім скористатися дистрибутивністю скалярного добутку, що дозволяє нам розкривати дужки: .

– розподільний закон векторного добутку векторів.

Звідси отримуємо також вираз для розподільного закону векторного добутку векторів:

.

8.3. Змішаний добуток у декартовому базисі.

.

8.4. Приклади застосування змішаного добутку під час розв’язування задач.

Задача 8.1. Представити заданий вектор у вигляді розкладання довільного вектора по трьох заданих некомпланарних векторах , і .

За умовою задачі необхідно представити вектор у такому вигляді:

. (8.1.1)

Шукані коефіцієнти , і являють собою не що інше, як координати вектора у базисі, складеному з векторів , і . Існування й одиничність такого представлення ми досліджували в розділах 3, 4.

Щоб розв’язати задачу скористаємося тією властивістю змішаного добутку, відповідно до якої мішаний добуток, що містить два однакових вектори дорівнює нулю. Помножимо співвідношення (8.1.1) ліворуч і праворуч на векторний добуток :

. (8.1.2)

Звідси можна знайти коефіцієнт

. (8.1.3)

Помітимо, що відповідно до умови задачі величина , що стоїть у чисельнику, не дорівнює нулю. Отриманий результат можна переписати іншим образом:

. (.8.1.4)

Аналогічно одержуємо коефіцієнти і множачи співвідношення (8.1.1) на величини і , відповідно:

. (8.1.5)

Отримані результати можна запам'ятати за допомогою такого простого правила. Коефіцієнт у розкладанні вектора по базису дорівнює дробу, в знаменнику якого стоїть мішаний добуток базисних векторів, а в чисельнику – цей же мішаний добуток, у якому даний вектор стоїть замість базисного вектора, що відповідає шуканій координаті.

Задача 8.2. Визначте вектор по заданих скалярних добутках , і .

1. Прийом, що ми застосували в першій задачі, може допомогти нам і тут. Але для цього необхідно придумати таке розкладання вектора , щоб після відповідних скалярних множень вийшли найбільш прості вирази, що бажано містять по одному з невідомих коефіцієнтів розкладання. Одне з таких розкладань має вигляд:

. (8.2.1)

Справді, після скалярного множення на кожний з векторів , і праворуч буде залишатися тільки один з доданків. У той же час ліворуч будуть виходити задані за умовою задачі відповідні скалярні добутки. Наприклад:

. (8.2.2)

Звідси одержуємо:

. (8.2.3)

Аналогічно і для інших коефіцієнтів:

та . (8.2.4)

У підсумку для вектора одержуємо остаточний вираз:

. (8.2.5)

Ми бачимо, що для існування розв’язку необхідно, щоб принаймні знаменники в (8.2.5) не дорівнювали нулю, тобто вектори , і не були компланарними.

2. Однак, для того щоб такий розв’язок був можливим, нам необхідно переконатися в існуванні розкладання (8.2.1), тобто треба довести, що вектори , і можна обрати як базис. Для цього необхідно переконатися в їх некомпланарності, тобто визначити, коли їхній мішаний добуток не дорівнює нулю:

. (8.2.5)

У наступному розділі ми доведемо, що цей вираз зводиться до мішаного добутку і, тим самим, ми знову, як умову існування розв’язку цієї задачі, одержуємо, що вектори повинні бути некомпланарними.

8.4. Подвійний векторний добуток векторів.

8.5. Задачі

Задача 8.3. (продовження задачі 5.1). Знайдіть компонент вектора , ортогональний векторові .

Розв’язок. У задачі 5.1. був знайдений компонент вектора , паралельний ненульовому векторові :

.

Звідси можна знайти компонент вектора , перпендикулярний векторові :

.

Тепер приведемо праву частину цього виразу до загального знаменника:

.

У чисельнику стоїть не що інше, як подвійний векторний добуток . Отже, шуканий вираз для виглядає так:

.

Задача 8.4. (закінчення задачі 8.2)

Спростити вираз .

Розв’язок. Щоб розв’язати задачу розглянемо подвійний векторний добуток , де як перший вектор візьмемо , другий – , а третій – . Тоді

.

Множачи цей добуток на , одержуємо

Таким чином, ми показали, що некомпланарність векторів , і еквівалентна некопланарності векторів , і , тобто

.

Задача 8.5. Довести, що

.

Розв’язок. Величина являє собою мішаний добуток трьох векторів Отже, у ньому можна переставити знаки місцями:

.

У фігурних дужках стоїть подвійний векторний добуток, що розкриваємо відповідно до правила:

Розкриваючи фігурні дужки, остаточно одержуємо шукане співвідношення.

.

Відзначимо окремий випадок співвідношення , у якому вектори і , а також і збігаються:

.

Це співвідношення зв'язує довжини векторного й скалярного добутку двох векторів:

.

Причому останнє співвідношення можна довести прямо з визначень довжин векторного і скалярного добутку:

.

Ця рівність справедлива через співвідношення .

Задача 8.6. Доведіть, що

.