Завдання до розділу 6
Усні питання для повторення матеріалу
1. Що таке півосі еліпса?
2. Яке геометричне значення має ексцентриситет еліпса?
3. Чому дорівнює відстань між гілками гіперболи?
4. Чому говорять, що парабола росте повільніше за будь-яку пряму?
5. Яка з ліній другого порядку: а) замкнута, б) незамкнута, в) має дві гілки?
6. Під час обертання якої з ліній другого порядку виходить поверхня, що використовують в антенах і телескопах?
7. Чи може пряма лінія тричі перетинати гіперболу?
Контрольні задачі
1. Дано лінію другого порядку
а)
;
б)
;
в)
.
Визначить величину ексцентриситету цих ліній і координати їхніх фокусів.
2.
Визначить радіус і координати центра
окружності
.
3.
Визначить півосі і координати фокусів
еліпса
.
3.
Складіть рівняння лінії другого порядку,
осі якої збігаються з осями координат,
знаючи, що вона проходить через точки
,
.
4. Знайдіть найбільший радіус кола, що лежить усередині параболи і торкається параболи в її вершині. Запропонуйте принаймні два різних розв’язки .
5. Побудуйте за допомогою олівця, лінійки, ниток і котушок (і т. п.) еліпс, параболу й гіперболу.
Теми для індивідуальних науково-дослідних задач
1. Дослідіть рух масивного тіла в гравітаційному полі. Виведіть рівняння можливих траєкторій руху в канонічному вигляді.
2. Запропонуйте параметричні рівняння для ліній другого порядку. Розгляньте різні види параметризації.
3. У домашніх умовах дзеркало для телескопа-рефлектора можна одержати, обертаючи судину, у який повільно застигає епоксидний клей. Яким чином при цьому одержати дзеркало із заданою фокусною відстанню?
4. Іноді говорять, що ковзанярі заточують ковзани «по параболі». Чи правда це і яка можлива причина цього?
Розділ 7. Загальна теорія ліній другого порядку
7.1. Загальне рівняння ліній другого порядку.
.
Рівнобіжний перенос не змінює старших членів рівняння другого порядку.
Під час повороту старші члени виражаються через старші члени у вихідній системі, а молодші – через молодші члени. Неоднорідність, або вільний член, під час повороту не змінюється.
7.2. «Стандартне» спрощення рівняння лінії другого порядку. Поворот системи координат.
Інваріанти ліній другого порядку.
Таблиця 7.1. Класифікація ліній гіперболічного типу
Гіперболічний
тип:
|
|
|
|
Гіпербола |
Пари перетин них прямих |
|
|
Таблиця 7.2 Класифікація ліній еліптичного типу.
Еліптичний
тип:
|
||
|
|
|
Еліпс |
Точка (пари уявних перетин них прямих) |
Уявний еліпс |
|
|
|
Таблиця 7.3. Класифікація ліній параболічного типу.
Параболічний
тип:
|
|||
|
|
||
Парабола |
Рівнобіжні прямі |
||
|
|
|
|
Дійсні |
Збіжні |
Уявні |
|
|
|
|
|
7.3. Підсумкова класифікація ліній другого порядку.
N |
|
|
Тип |
|
Назва лінії |
Рівняння |
|
1 |
Центральні I2 ≠ 0 |
|
Еліптичний |
|
Еліпс |
|
|
2 |
|
Точка (пара уявних прямих, які перетинаються) |
|
||||
3 |
|
Уявний еліпс |
|
||||
4 |
|
Гіперболічний |
|
Гіпербола |
|
||
5 |
|
Пара перетинних прямих |
|
||||
6 |
Нецентральні |
|
Параболічний |
|
Парабола |
|
|
7 |
I3=0 |
K<0 |
Пара паралельних прямих |
|
|||
8 |
K=0 |
Пара збіжних прямих |
|
||||
9 |
K>0 |
Пара паралельних уявних прямих |
|
||||
7.4. Алгоритм визначення виду лінії другого порядку за допомогою інваріантів
7.5. Визначення параметрів лінії другого порядку.
.