2. Пусть дана непрерывная на некотором отрезке [a,b] функция . Необходимо найти принадлежащие этому отрезку корни уравнения

(1)

Как правило, алгоритм приближенного метода состоит из двух этапов:

- поиск приближенного значения корня или содержащего его отрезка;

- уточнение приближенного значения до некоторой заданной степени точности.

Иногда ограничиваются только первым этапом. При этом могут использоваться решения близких задач, графические методы, физические соображения и т.д. На втором этапе для уточнения приближенного значения обычно строится последовательность, элементы которой в пределе сходятся к точному значению корня. Сам метод решения при этом называется итерационным или методом последовательных приближений.

Рассмотрим некоторые численные методы решения такого уравнения.

Метод деления отрезка пополам

Одним из итерационных методов является метод деления отрезка пополам (дихотомии, бисекции).

На первом этапе должен быть найден отрезка  на концах которого функция  имеет значения разных знаков Тогда отрезок  содержит нечетное число корней уравнения (1) нечетной кратности ( - корень кратности p, если  , ).

Начальное приближение .

На втором этапе выбирается тот из двух отрезков  ,  , на концах которого функция  имеет значения разных знаков и за  принимается середина этого отрезка, и т. д.. Таким образом, строится последовательность  , сходящаяся при  к  . После каждой итерации отрезок, содержащий корень уменьшается вдвое. Инерционный процесс продолжается до тех пор, пока длина полученного отрезка не станет меньше заданной величины  . За приближенное решение принимается средняя точка последнего промежутка.

Метод хорд

В некоторых случаях несколько большей скоростью сходимости обладает метод хорд, у которого на втором этапе при выборе очередного приближения внутри отрезка, содержащего корень, учитывается величина невязки на концах отрезка: точка выбирается ближе к тому концу, где невязка меньше ( но в некоторых случаях это может замедлить сходимость по сравнению с методом дихотомии ).

Геометрический смысл заключается в замене кривой хордой. Очередное приближение находится как точка пересечения хорды с осью абсцисс.

Для точки пересечения хорды с осью абсцисс  имеем

.

принимается за очередное приближение к корню. Далее выбирается тот из промежутков  , на концах которого функция имеет значения разных знаков и т. д.. При этом, если  дважды непрерывно дифференцируемая функция и знак  сохраняется на рассматриваемом промежутке, то полученные приближения будут сходиться к корню монотонно.

Метод Ньютона

Геометрический смысл метода Ньютона (метода касательных) заключается в том, что на отрезке  содержащем корень уравнения (1) график функции  заменяется отрезком касательной, проведенной к графику  при  или  . (Предполагая что функция  дифференцируема на  .)

При этом используется только одна точка, поэтому не обязательно задавать отрезок  , содержащий корень, достаточно задать некоторое приближение  .

Уравнение касательной в точке 

.

Для точки пересечения с осью 0x получаем

, и т. д.

Объем вычислений в методе Ньютона на каждом шаге выше, чем в предыдущих методах, т. к. в точке  вычисляются значения функции и ее производной, что компенсируется более высокой скоростью сходимости этого метода.

Но в отличие от предыдущих методов метод Ньютона сходится не при всяком выборе начального приближения на отрезке, содержащем корень уравнения. Сходимость имеет место тогда, когда для начального значения выполняется неравенство

При этом последовательные приближения будут сходится к корню монотонно.