лительной техники;

пользоваться средствами моделирования устройств вычислительной тех-

ники.

-иметь навыки экспериментального исследования спроектированных схем.

Поскольку объём предлагаемого конспекта лекций ограничен, основное

внимание уделено принципам построения, работы и использования основных уз-

лов ЦВМ: триггеров, комбинационных и накапливающих узлов. Предлагается

подкрепить предложенный теоретический материал решением практических за-

дач с привлечением программ моделирования с целью проверки результата реше-

ния и более глубокого изучения материала. Моделирование удобно выполнять,

используя пакет «Electronics Workbench» [3], который практически не требует

времени на изучение собственно программного продукта.

Во введении приводятся основные сведения об алгебре логики, о логиче-

ских функциях, элементной базе цифровой схемотехники и электрических схемах,

используемых для описания цифровых устройств на разных уровнях проектиро-

вания. Предложенный во введении материал более подробно можно изучить, ис-

пользуя дополнительную литературу. Если предлагаемый материал вам известен,

пропустите его и переходите к следующему разделу.

Полного понимания дисциплины и умения использовать полученные знания

для анализа работы цифровых устройств или проектирования новых устройств

можно достичь, если подкрепить знания принципов работы основных узлов циф-

ровых устройств, которые описываются в предлагаемом конспекте, выполнением

лабораторных работ на универсальных стендах-конструкторах и на компьютерах

[4] и проектированием реальных цифровых устройств, решающих практически

важные задачи.

1.2. Основные логические функции и основы синтеза схем

которые представляются обычно двумя чётко различимыми уровнями электриче-

ского напряжения: уровнем логического нуля U0 и уровнем логической единицы

U1. Для описания функционирования цифрового устройства используется булева

алгебра, которая определяет несколько способов задания логических функций как

функций двоичных переменных. Основные способы описания логических функ-

ций представлены ниже.

Любую сколь угодно сложную логическую функцию можно представить с

помощью простейших функций, обладающих функциональной полнотой.

Среди простейших логических функций выделим функцию отрицания,

конъюнкцию и дизъюнкцию.

Отрицание или функция НЕ - функция одной двоичной переменной, равная

нулю, если переменная равна единице и наоборот:

y = x (y равно не x)

Реализуется отрицание с помощью инвертора, условное графическое обо-

значение которого предложено на рис. 1.1,а. Признаком инвертирования на обо-

значении инвертора является наличие на линии сигнала кружочка.

Функция конъюнкция (логическое умножение) или функция И - функция

двух или большего числа переменных, равная единице только в том случае, когда

все входящие в её состав переменные равны единице. Для случая двух перемен-

ных x1 и x2 конъюнкция запишется в следующем виде: y=x1 & x2 , x1 ⋅ x 2 или x1x2

(y

равно x1 и x2). Реализуется конъюнкция с помощью конъюнктора, условное

Функция дизъюнкция (логическое сложение) или функция ИЛИ - функция

обозначение которого предложено на рис. 1.1,б.

двух или большего числа переменных, равна единице, когда хотя бы одна из пе-

ременных равна единице. Для случая двух переменных дизъюнкция запишется в

следующем виде: y = x1 ∨ x 2 ( y равно x1 или x2). Реализуется дизъюнкция с помо-

щью дизъюнктора (рис. 1.1,в).

1

y=x

x1

1

y = x1 ∨ x 2

x2

x1

x1

x

1

y=x

&

y = x1x 2

≥1

y = x1 ∨ x 2

x2

x2

а)

б)

в)

Рис. 1.1. Условные графические обозначения логических элементов на

принципиальных или функциональных схемах: а - инвертор; б - конъюнк-

тор; в - дизъюнктор

Значения логической функции на всех возможных наборах значений двоич-

ных переменных могут быть заданы табличным или аналитическим способом.

Для задания функции может быть использована таблица истинности, форма кото-

рой для функции трех переменных y=f(x1,x2,x3) представлена на рис. 1.2,а.

N

0

1

2

3

4

5

6

7

x1

0

0

0

0

1

1

1

1

x2

0

0

1

1

0

0

1

1

a)

x3

0

1

0

1

0

1

0

1

y

1

1

0

1

0

0

0

1

1

x1

&

x1x 2 x3

&

x2

1

x1x 2x3

x2

1

&

y

x3

1

x3

x1x 2 x3

&

x1x 2 x3

б)

x1

x2

x3

&

1

x1

&

x2

1

y

y

x3

&

&

&

&

г)

DD1.1

в)

x1

1

2

x2

1

ЛЛ1

DD2.1

&

ЛА3

x1 ∨ x 2

3

DD2.2

5

4

3

x1x 2

1

2

3x

&

ЛА3

6

y

д)

Рис.1.2. Табличный способ задания функции (а) и её реализация в виде

электрической схемы (б, в, г, д)

строк таблицы и при n переменных равно 2n. Можно заметить, что номер строки

N соответствует десятичному эквиваленту двоичного многоразрядного числа

x1x2x3 , где x3 - младший разряд.

В столбце y записываются значения функции для соответствующего набора

значений переменных. В данном примере столбец y заполнен произвольным обра-

зом, что позволило задать данной таблицей одну из множества возможных логи-

ческих функций n переменных. Если на некоторых наборах значениe функции

произвольно или не определено, то подобные функции называют частично задан-

ными или не полностью определенными. При необходимости эти функции могут

быть разумным образом доопределены путём подстановки в соответствующих

местах таблицы нуля или единицы вместо пробела b.

От табличного способа задания функции легко перейти к аналитическому,

используя понятие совершенной дизъюнктивной нормальной формы (СДНФ).

СДНФ представляет дизъюнкцию конъюнкций. Каждая конъюнкция представляет

конституэнту единицы. В состав каждой конъюнкции или конституэнты входят

все переменные, взятые с отрицанием или без отрицания в зависимости от того,

какому набору значений переменных данная конъюнкция соответствует. Конъ-

юнкция x1 & x 2 & x3 например, соответствует набору N=0, т.е. только в том случае,

когда x1=0, x2=0 и x3=0 данная конъюнкция равна единице. А конъюнкция

x1 & x 2 & x3 соответствует набору N=3, то есть x1=0, x2=1 и x3=1. Причём, коли-

чество конъюнкций равно числу наборов, на которых функция равна единице. То-

гда СДНФ для функции y будет следующая:

y = x1x 2 x3 ∨ x1x 2x3 ∨ x1x 2 x3 ∨ x1x 2 x3

Используя аналитическую форму представления логической функции, легко

построить комбинационную схему на инверторах, конъюнкторах и дизъюнкторах,

которая реализует эту функцию (рис. 1.2,б). При этом следует реализовать снача-

ла операции над отдельными переменными (отрицание), затем конъюнкции и в

последнюю очередь - дизъюнкции. Схема может быть представлена в компактном

виде, если использовать дополнительное поле в условном обозначении дизъюнк-

ится комбинационная схема непосредственно по СДНФ. Во-первых, потому, что

необходимо учитывать возможности реальных логических элементов (их число

входов и реализуемые ими функции) и соответствующим образом видоизменить

аналитическое выражение, чтобы можно было реализовать схему в заданной сис-

теме элементов или в заданном базисе. Для преобразования аналитического вы-

ражения с этой целью используют правило де Моргана, которое формулируется

следующим образом:

z1 ∨ z 2 ∨ ... ∨ zm = z1z 2...zm ,

z1z 2...zm = z1 ∨ z 2 ∨ ... ∨ zm ,

где под zi понимается отдельная переменная или комбинация переменных.

Для рассматриваемого случая применение правила де Моргана с целью исключе-

ния функции дизъюнкции позволяет прийти к выражению, требующему для своей

реализации только логические элементы, выполняющие функции конъюнкция и

отрицание (функция И-НЕ):

y = x1x 2 x3 ∨ x1x 2x3 ∨ x1x 2 x3 ∨ x1x 2 x3 = ( x1x 2 x3)( x1x 2x3)( x1x 2 x3)( x1x 2 x3)

Здесь используется тот факт, что двойное отрицание от логической функции

равно самой функции.

Во-вторых, прежде чем реализовать комбинационные схемы, обычно упро-

щают (или минимизируют) аналитическую запись, используя аксиомы алгебры

логики. Вот некоторые из них:

1= 0;

x = xx ;

0 = 1;

x∨ x = x;

1x = x ;

1∨ x = 1;

0x = 0 ;

0∨ x = x;

xx = 0 ;

x ∨ x = 1;

x = x;

x1 ∨ x1x 2 = x1 ;

x1( x1 ∨ x 2) = x1 ;

местительные, распределительные и сочетательные законы:

x1 ∨ x 2 = x 2 ∨ x1 ;

x1x 2 = x 2 x1 ;

x1( x 2 x3) = ( x1x 2) x3 ;

x1 ∨ ( x 2 ∨ x3) = ( x1 ∨ x 2) ∨ x3 ;

x1 ∨ x 2 x3 = ( x1 ∨ x 2)( x1 ∨ x3)

x1( x 2 ∨ x3) = x1x 2 ∨ x1x3 ;

В процессе минимизации отыскиваются в СДНФ или произвольной исход-

ной аналитической форме конъюнкции, отличающиеся в одной переменной, и к

ним применяется правило склеивания: x1 ⋅ z ∨ x1 ⋅ z = ( x1 ∨ x1) ⋅ z или поглощения:

x1 ∨ x1 ⋅ z = x1 ⋅ (1 ∨ z ) = x1 , где z - отдельная переменная или логическое выражение. В

результате две конъюнкции, связанные дизъюнкцией, заменяются одной, содер-

жащей к тому же меньшее число переменных. Для предложенного примера про-

цесс минимизации выглядит следующим образом:

y = x1x 2 x3 ∨ x1x 2x3 ∨ x1x 2 x3 ∨ x1x 2 x3 = x1x 2( x3 ∨ x3) ∨ x 2 x3( x1 ∨ x1) = x1x 2 ∨ x 2 x3

В результате преобразования функция значительно упрощается:

y = x1 ⋅ x 2 ∨ x 2 ⋅ x3

(1)

Конъюнкция x1x 2 в полученном выражении заменяет выражение x1x 2 x3 ∨ x1x 2x3 в

исходной СДНФ, а конъюнкция x 2 x3 заменяет выражение x1x 2 x3 ∨ x1x 2 x3 . Функ-

циональная схема устройства, реализующего функцию y, оказывается значитель-

но проще (рис.1.2,г).

При небольшом числе переменных удобно использовать для минимизации

диаграммы Вейча, которые представляют разновидность табличного способа за-

дания логической функции. Особенностью диаграммы Вейча является то, что

конъюнкции, отличающиеся в одной переменной, оказываются рядом. И если в

соседних двух клетках функция равна единице, то возможна операция склеивания

по одной переменной, если четыре единицы функции расположены в квадрате 2x2

или на одной линии, то возможно склеивание по двум переменным, а если восемь

единиц расположены в прямоугольнике 2x4, то возможно склеивание по трем пе-

ременным. Диаграмма Вейча для трех переменных представлена на рис. 1.3. Эта

рисунке 1.2,а.

Выполняя операцию склеивания в представленном случае над двумя парами

единиц так, как показано на диаграмме, можно упростить или минимизировать

выражение. В результате предложенная таблицей истинности функция запишется

в следующем виде:

y = x1 ⋅ x 2 ∨ x 2 ⋅ x3 .

Можно заметить, что получено такое же выражение для исходной функции,

какое получено при использовании правила склеивания непосредственно к

СДНФ.

Рис.1.3. Диаграмма Вейча

Диаграмму Вейча следует считать сложной фигурой, у которой крайние бо-

ковые стороны могут быть соединены в цилиндр и крайние горизонтальные сто-

роны также могут быть замкнуты в цилиндр.

Аксиомы булевой алгебры дают возможность преобразовывать формулу

выходной переменной y таким образом, чтобы возможна была реализация выра-

жения на определённых логических элементах, выполняющих известные логиче-

ские функции. Это позволяет перейти от функциональной схемы (рис.1.2,б,

рис.1.2, в и рис.1.2,г) к принципиальной схеме устройства, которая предполагает

применение конкретных микросхем в составе устройства. Осуществим возмож-

ные преобразования для выражения (1). Избавимся от необходимости применения

инверторов на каждом входе, используя двойное отрицание:

Дизъюнкция ( x1 ∨ x 2) возникла благодаря применению правила де Моргана.

Применим это же правило для дальнейших преобразований:

y = ( x1 ∨ x 2) ∨ x 2 x3 = ( x1 ∨ x 2) ∨ x 2 x3 = ( x1 ∨ x 2) ⋅ ( x 2 x3) .

В результате преобразований получаем выражение:

y = ( x1 ∨ x 2) ⋅ ( x 2 x3) .

Полученное выражение реализуется с использованием двухвходового

дизъюнктора (например, из микросхемы К555ЛЛ1) и элементов типа И-НЕ, со-

держащихся в микросхеме типа К555ЛА3. Принципиальная схема синтезирован-

ного устройства предложена на рисунке 1.2,д.

На этой схеме около условных обозначений логических элементов цифрами

указаны номера выводов конкретных микросхем. Тип микросхемы представлен

сокращённым названием внутри условного обозначения каждого логического

элемента. Устройство реализуется на двух микросхемах: DD1 – К555ЛЛ1, DD2 –

К555ЛА3. Идентификатор микросхемы строится с помощью двух букв и порядко-

вого номера микросхемы на чертеже. Первая буква D обозначает, что имеем дело

с микросхемой, вторая буква D говорит о том, что микросхема цифровая, то есть

работает с двоичными сигналами. Если вторая буква A, то микросхема аналого-

вая, обрабатывающая аналоговые сигналы. Если реализация на микросхемах под-

разумевается, то первая буква может быть пропущена. Если в корпусе микросхе-

мы реализовано несколько элементов, то их условные обозначения могут распо-

лагаться в разных местах чертежа, но их порядковый номер будет один и тот же и

соответствовать номеру первого из них в процессе нумерации элементов сверху

вниз чертежа и слева направо. Через точку к порядковому номеру добавляется

номер элемента в корпусе микросхемы. Из корпуса микросхемы К555ЛА3 в схеме

на рисунке 1.2,д используется два элемента из четырёх, а в микросхеме К555ЛЛ1

используется только один из четырёх элементов. Соответственно элементы из

корпуса К55ЛА3 идентифицированы как DD2.1 и DD2.2, а элемент микросхемы

назван DD1.1.

Чтобы микросхемы выполняли логические функции надо подвести питаю-

щее напряжение: к выводам 7 микросхем следует подключить минус пятивольто-

вого источника напряжения, а к выводам 14 микросхем следует подключить

плюс того же источника. Входные и выходные переменные задаются относитель-

но выводов 7, то есть относительно отрицательного полюса источника напряже-

ния питания.

Синтезированное устройство можно отнести к классу комбинационных уз-

лов, то есть к цифровым узлам, не содержащим запоминающие элементы. Всякое

изменение состояний входных сигналов может привести к изменению состояния

выходного сигнала с минимальной задержкой, определяемой лишь задержкой в

прохождении информации через используемые элементы. Быстродействие опре-

деляется возможностями используемых элементов. Для выбранных элементов

максимальная задержка в формировании правильного значения выходного сигна-

ла в ответ на изменение входных сигналов не превышает задержки двух элемен-

тов (рис.1.2,г) и не более (22+15)нсек (наносекунд) [5], где 22нсек - задержка эле-

мента К555ЛЛ1, а задержка элемента К555ЛА3 – не более 15нсек.

Булева алгебра позволяет успешно решать задачи синтеза комбинационных

схем, выполняющих операции над двоичными числами или двоичными перемен-

ными. Некоторые примеры применения булевой алгебры для описания функцио-

нирования комбинационных узлов будут предложены ниже. Но булева алгебра

позволяет решать и задачи анализа комбинационных схем с целью проверки их

работоспособности, понимания принципов работы устройства или с целью упро-

щения, минимизации получаемых при анализе функций. Исходным материалом

при этом может быть принципиальная схема устройства. При известной принци-

пиальной схеме комбинационного узла достаточно путём перебора всех возмож-

ных состояний входных сигналов составить таблицу истинности выходных сигна-

лов, что позволяет затем выполнить анализ работы устройства и упростить уст-

ройство при необходимости путём минимизации и проектирования новой схемы.