3. Понятие о тензоре напряжений

Напряженное состояние в точке деформируемого тела определяется девятью векторами, тремя нормальными и шестью касательными напряжениями. Совокупность этих девяти величин, характеризующих напряженное состояние точки тела, образует тензор

напряжения, который выражают в виде матрицы:

Если напряженное состояние задано в главных напряжениях, то тензор напряжений упрощается:

σ₁ 0 0

Т_σ= 0 σ₂0

0 0 σ₃

Шаровой тензор, характеризующий изменение объема деформируемого тела, записывается в виде матрицы:

σ_ср 0 0

Т_σ= 0 σ_ср0

0 0 σ_ср

Шаровой тензор описывает напряженное состояние точки, подвергнутой действию равномерного всестороннего сжатия или растяжения, когда касательные напряжения отсутствуют. Шаровой тензор может вызвать изменение объема при упругой деформации, но не изменение формы. Средним напряжением называется инвариант

Физический смысл среднего напряжения: среднее напряжение и первый инвариант тензора напряжений определяют давление в индивидуальной частице сплошной среды, появление которого связано с изменением объема индивидуальных частиц.

Рис.7. Схема действия сил шарового тензора при σ₁ = σ₂ = σ₃ и σ = -р

Вычтем из тензора напряжений шаровой тензор. Разность между тензором напряжений и шаровым тензором называется девиатором напряжений; он характеризует изменение формы деформируемого тела и определяется следующим выражением:

или в главных напряжениях:

При формулировке свойств металла большое значение имеют инварианты девиатора тензора напряжений - скалярные величины, составленные из компонент тензора напряжений, не зависящие от выбора системы координат и не изменяющиеся при переходе от одной системы координат к другой.

Первый инвариант - линейный I₁ = σ₁ + σ₂ + σ₃ = const равен утроенному октаэдрическому нормальному напряжению или гидростатическому давлению

Второй инвариант – квадратичный I₂ = σ₁σ₂ + σ₂σ₃ + σ₃σ₁

Третий инвариант – кубический I₂ = σ₁σ₂σ₃

С тензорами можно производить различные математические действия.

.4. Октаэдрические напряжения.

Наряду с площадками, по которым действует σ и τ в теории ОМД рассматриваются площадки, равнонаклонённые к главным осям и следовательно отсекающие на них отрезки одинаковой длины. Эти площадки называются октаэдрическими. Всего таких площадок 8 , и вместе они образуют октаэдр.

Эти площадки попарно взаимно параллельны , поэтому независимых площадок только 4. Напряжения действующие на октаэдрические площадки называют октаэдрическими: полное октаэдрическое напряжение Sокт; нормальное октаэдрическое: σ_окт и касательное октаэдрическое напряжение τ_окт.

S_окт= = среднему гидростатическому напряжению.