II. Выбор управляющих действий в условиях неопределенности

2.1. Применение теории игр.

Наиболее простыми являются игры с участием 2-х игроков, имеющих права на два хода или игры два на два (2х2)

В любой игре главным является составление платежной матрицы – это прямоугольная таблица, каждая строка которой представляет собой способ действия одной из сторон, а каждый столбец – действия другой стороны. В пересечении столбцов и строк стоит число, характеризующее платеж, т.е. выигрыш одной из сторон и проигрыш другой.

Возможен лов рыбы в 3-х районах:

Например,

Район А – 8 тралений

В – 6 тралений

С – 5 тралений

Вылов в тоннах на траление при промысловой обстановке или действиях природы:

Район Хороший Улов средний улов плохой улов

А 5 т/тр 3 1

В 6 4 3

С 8 5 2

Матрица добычи при различных действиях рыбака и состояниях природы принимают вид.

Таблица 3

Природа рыбак	Хороший улов	Средний улов	Плохой улов	Min строк
А	40	24	8	8
В	36	24	18	18
С	40	25	10	10
Max столбца	40	25	18

Существует несколько способов решения задач теории игр.

1-й способ:

Определяем седловую точку матрицы. Если в матрице есть цифра, которая наименьшая в своей строке и наибольшая в своем столбце, то эта клетка и есть седловая точка матрицы. Она является решением игры, т.е. определяет разумные действия обоих противников. Цифровые значения седловой точки есть цена игры (цена игры – это то значение выигрыша одной из сторон и проигрыша другой стороны, которые получат оба игрока при разумных действиях).

2-й способ:

Если в матрице нет седловой точки, то сначала отбрасываются невыгодные или выгодные (доминирующие) одному из противников действия.

При наличии седловой точки, такой способ приведет к этой точке.

Отбрасывание доминирующих стратегий максимально упрощает матрицу.

В таблице 3 приведено решение задачи методом седловой точки. Это решение показывает, что лучшими условиями обеих игроков являются для рыбака район В, для природы – плохие уловы. Цена игры 18 т.

Аналогичное решение получим путем исключения для природы заведомо невыгодной стратегии – хорошие уловы, а потом средние уловы. В оставшемся столбце рыбак, естественно, выберет работу в районе В, поскольку лучше ловить по 18 т,чем 8т или 10 т.

Решение матрицы 2х2, не имеющей седловой точки покажем на примере.

Пример № 2:

Таблица 4

Природа рыбак	Хороший улов	Средний улов	Плохой улов	Min строк
Доп.тр.	50	20	40	20
Кош.н.	60	70	30	30
Пел.тр.	40	50	10	10
Max столб.	60	70	40

Итоговая матрица 2х2 не имеет седловой точки:

Таблица 5

Природа Рыбак	Средний улов	Плохой улов
Д.тр.	а11=20	а12=40
П.нев.	а21=70	а22=30

Р₁=2/3

Р₂=1/3

Чистой стратегии для выигрыша нет, и действия необходимо применять с определенной частотой.

Частоты применения стратегий рассчитывается по формулам.

Задачу выбора смешанных действий или стратегий можно решить также по следующему алгоритму:

• Вычесть числа 1-ой строки из большего меньшее и записать результат напротив второй строки;

• Вычесть во второй строке из большего числа меньшее и результат записать напротив 1-ой строки.

Отношение этих чисел дает частоту применения стратегий рыбака. За природу частоту можно определить, поступив точно также со столбцами.

Графическое решение этой задачи можно выполнить по схеме.

Цены первого способа действия

Рис. 3. Графическое определение частот.

Цена игры по смешанным стратегиям определяется по следующим формулам:

- цена игры (2.1.1)

(2.1.2)

По нашему примеру:

При смешанных стратегиях действия игроков выполняется с заданной частотой случайным образом, используя компьютерное решение случайных чисел с заданной частотой или другой _метод.

Формула для определения частоты:

(2.1.3)

(2.1.4)

Полученное методом теории игр решение дает наиболее осторожные действия промысловика при которых он получает min, но гарантированные результаты.

ЗАДАНИЕ N 3

по «Тактике промысла»

Индивидуальные задания на решение задач методами теории игр

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
а11	30	30	40	40	28	42	45	60	60	45	68
а12	15	12	15	25	12	22	15	30	15	30	32
а21	25	18	25	15	22	12	30	15	30	15	26
а22	40	40	30	30	42	32	60	45	45	60	50

	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22
а11	48	40	60	20	60	34	50	60	90	60	50
а12	27	18	24	8	35	16	12	30	45	15	25
а21	18	30	36	12	20	13	25	20	25	30	32
а22	40	50	40	15	45	25	40	50	60	45	70

1. Составить матрицу игры между «рыбаком» и «природой» по данным своих условий

2. Определить частоты применения стратегии «рыбака» и «природы» и цену игры между ними

3. Сделать анализ полученного решения и описать возможные способы реализации решения

4. Расширить матрицу до размеров 3х3 за счет доминирующих стратегий

4. Составить и решить пример расчетов лучшего вылова из опыта своей работы и проанализировать его результаты.

Методика решения задач наиболее просто и сжато, рассмотрена в соответствующем разделе конспекта лекций, а также в [1] стр. 132-162, [2] стр. 87-97, [3] стр.110-114, [4] стр.130-158.