2. Існування суми, її єдиність
Які б не були скінчені множини
А і В
без спільних елементів,
завжди існує, причому єдина, скінчена
множина
,
що є їх об’єднанням.
Які б не були цілі невід’ємні числа а і в, завжди існує ціле невід’ємне число s, причому єдине, яке є їх сумою
Дія, за допомогою якої знаходимо суму, називається додаванням, а числа, які додаються – доданками
а + в = с
доданок доданок сума
Означення суми
доданків. Нехай сума двох доданків
визначена і визначена сума п-доданків.
Тоді сума, яка складається з
доданка , тобто сума
дорівнює
.
=
Наприклад,
3 + 4 + 18 + 27 = (3 + 4 + 18) + 27 = ((3 + 4) + 18) + 27 = (7 + 18) + 27 = 25 + 27 = 52
В початковому курсі математики додавання цілих невід’ємних чисел вводиться в першому класі на основі практичних вправ, пов’язаних з об’єднанням двох множин предметів (при цьому теоретико-множинна термінологія і символіка не використовується). Засобом розкриття теоретико-множинного змісту додавання є розв’язання простих арифметичних задач.
Отже, сума цілих невід’ємних чисел завжди існує і вона єдина. які б не було взято два цілих невід’ємних числа а і b, завжди можна знайти їх суму – ціле невід’ємне число с, яке і буде єдиним для заданих чисел а і b.
Питання для узагальнення
Чи завжди існує сума цілих невід’ємних чисел?
Як називаються компоненти при додаванні?
3. Закони додавання:
Переставний закон додавання (комутативний)
Для будь-яких цілих невід’ємних чисел а і в виконується рівність а + в = в + а.
Доведення. Нехай
,
і
Ø. Тоді за означенням суми цілих
невід’ємних чисел:
,
але
.
отже
.
Сполучний закон додавання (асоціативний)
Для будь-яких цілих невід’ємних чисел а, в, с виконується рівність (а+в)+с=а+(в+с).
Доведення. Нехай
,
,
і
Ø.
Ø Тоді за означенням суми двох чисел
можна записати
.
Але так як об’єднання множин володіє
сполучною властивістю
,
то
.
Тоді
.
Сполучна властивість дозволяє знаходити суму трьох доданків. Для цього достатньо додати перший доданок до другого і до одержанного числа додати третій доданок, або додати перший доданок до суми другого і третього.
Переставний і сполучний закони можуть бути узагальнені на будь-яке число доданків. При цьому переставна властивість буде означати, що сума не зміниться при будь-якій перестановці доданків, а сполучний – що сума не зміниться при будь-якій групіровці доданків (без зміни порядку).
Наслідки із комутативного та асоціативного законів додавання:
Додавання числа до суми і суми до числа
1) (а + b) + с = (а + с) + b = а + (b + с);
2) а + (b + с) = (а + b) + с=:(а + с) + b.
Додати число до суми або суму до числа можна двома способами: обчислити суму і до результату додати дане число або додати це число до одного з доданків, а до результату додати другий доданок.
Додавання суми до суми
(а + b) + (с + d) = (а + с) + (b + d) = (а + d) + (b + с).
Для того щоб додати суму до суми, можна до одного з доданків першої суми додати один із доданків другої, а до другого доданку першої суми – інший доданок другої суми і одержані результати додати.
Ці правила легко поширити на будь-яку кількість доданків і об’єднати їх одним правилом: якщо при додаванні маємо дужки, то їх можна опустити і об’єднати між собою доданки в будь-якій послідовності так, щоб обчислення виконувати найзручнішим способом.
Наприклад.
Обчисліть, застосовуючи закони додавання
219+361+281+164+52=
На основі переставної властивості переставимо доданки 36 і 281.
Тоді 219 + 36 + 281 + 164 + 52 = 219 + 281 + 36 + 164 + 52 =
(на основі сполучного закону згрупуємо доданки, а потім знайдемо суми у дужках)
= (219 + 281) + (36 + 164) + 52 = 500 + 200 + 52 = (застосуємо ще раз сполучний закон) =
= (500 + 200) + 52 = 700 + 52 = 752
З переставною властивістю учні знайомляться при вивченні додавання і віднімання в межах 10. Спочатку цей закон використовується при вивченні таблиць додавання. Наприклад, 5 + 6 = 6 + 5 = 11, 5 + 7 = 7 + 5 = 12. А потім вже для раціональних обчислень.
З сполучним законом учні знайомляться в 4-му класі і використовують придбані знання для раціональних обчислень.
Розв’язування вправ
№ 1, С.132
(4 + 5) + 6 = переставимо місцями доданки 4 і 5 застосувавши переставну властивість додавання = (5+4)+6 = застосуємо сполучний закон = 5 + (4 + 6)
№ 3,С.132
(30 + 7) + (10 + 4) = 30 + 7 + 10 + 4 = 30 + 10 + 7 + 4 = (30 + 10) + (7 + 4) = 40 + 11 = 51
№ 4, С.132
273 + 1227 + 154 + 446 = (123 + 1227) + (154 + 446) = 1500 + 600 = 2100
Отже, із законами дії додавання учні початкових класів знайомляться поступово: спочатку вивчають переставну властивість додавання (1 клас), яка використовується при складанні таблиць додавання одноцифрових чисел, а далі для розкриття прийомів додавання та раціоналізації обчислень. В 4 класі при узагальненні і систематизації знань про дію додавання закони – переставний і сполучний формулюються та записуються у буквеному вигляді.
Питання для узагальнення
Які закони додавання ви знаєте?
Сформулюйте переставний закон додавання.
Сформулюйте сполучний закон додавання?
Які наслідки випливають із комутативного та асоціативного законів додавання?