1. Поняття найбільшого спільного дільника та найменшого спільного кратного натуральних чисел

Візьмемо два числа 8 і 12, випишемо їх дільники.

Число 12 ділиться на 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Число 8 ділиться на 1, 2, 4, 8. У чисел 8 і 12 є спільні дільники. Це числа 1, 2, 4. Серед них є найбільше число 4 і його називають найбільшим спільним дільником чисел 12 та 8.

Означення. Спільним дільником натуральних чисел а і b називається будь-яке натуральне число, яке являється дільником кожного із даних чисел.

Означення. Найбільшим спільним дільником (НСД) натуральних чисел а і b називається найбільше натуральне число із усіх спільних дільників даних чисел.

D (a, b) = c D (16, 8) = 8

Властивості НСД

1. НСД натуральних чисел a і b завжди існує і являється єдиним.

2. НСД не більший будь-якого із чисел a і b.

3. НСД натуральних чисел a і b ділиться на будь-який спільний дільник цих чисел.

4. Якщо а b, то НСД (а, b) = b.

Означення: Якщо НСД (а₁,а₂,…, а_k) = 1, то числа а₁,а₂,…, а_k називаються взаємно простими. Якщо, крім того, кожна пара цих чисел взаємно проста, то числа а₁,а₂,…, а_k називаються попарно взаємно простими.

Так числа 4, 6, 7 – взаємно прості, НСД (4,6,7) = 1. Проте вони не є попарно взаємно простими, НСД (4,6) = 2.

У числах 12 і 8 є спільні кратні. Це числа 24, 48, 72, … Серед них є найменше число 24. Його називають найменшим спільним кратним чисел 12 і 8.

Означення. Спільним кратним натуральних чисел a і b називається будь-яке натуральне число, яке кратне кожному із даних чисел.

Означення. Найменшим спільним кратним (НСК) натуральних чисел a і b називається найменше натуральне число із усіх спільних кратних даних чисел.

К (16, 8) = 16

Властивості НСК

1. НСК натуральних чисел a і b завжди існує і являється єдиним.

2. НСК натуральних чисел a і b не менше більшого із даних чисел.

3. Будь-яке спільне кратне двох натуральних чисел a і b ділиться на найменше спільне кратне цих чисел.

4. Якщо а b, то НСД (а, b) = а.

Теорема: НСД (а,b) є найменшим спільним кратним усіх спільних дільників чисел а і b.

Отже, найбільшим спільним дільником натуральних чисел а і b називається найбільше число з усіх спільних дільників даних чисел і позначається НСД (а, b) або Д (а, b). Найменшим спільним кратним натуральних чисел а і b називається найменше число з усіх спільних кратних даних чисел. Найменше спільне кратне позначається НСК (а, b) або К (а, b).

Питання для узагальнення

• Що називають спільним дільником цілих чисел а і b?

• Чи завжди він існує? Чому?

• Що називають найбільшим спільним дільником цілих чисел а і b?

• Чи завжди він існує? Чому?

2. Способи знаходження найбільшого спільного дільника і найменшого спільного кратного Знаходження нсд та нск розкладом на прості множники

Знайдемо НСК і НСД чисел 360 і 525. Ці числа можна подати у канонічному вигляді: 360 = 2³ ∙ 3² ∙ 5; 525 = 3 ∙ 5² ∙ 7. У розклад на прості множники НСД цих чисел повинні ввійти всі спільні прості множники, причому кожний з них треба взяти з найменшим показником, з яким він входить в канонічні розклади даних чисел. Отже, НСД (360, 525) = 3 ∙ 5 = 15.

У розлад на прості множники НСК (360, 525) повинні ввійти всі прості множники, які входять принаймні в один розклад, причому кожний з них треба взяти з найбільшим показником. НСК (360, 525) = 2³ ∙ 3² ∙ 5² ∙ 7 = 12 600.

Теорема: НСК (а, b) ∙ НСД (а, b) = а ∙ b.

Наслідок: Якщо НСК (а, b) = 1, то НСК (а, b) = а ∙ b .

Знайдемо НСД і НСК чисел 3600 і 288.

D (3600, 288) = 2 · 3 = 144

3600 1800 900 450 225 75 25 5 1

2 2 2 2 3 3 5 5 1

288 144 72 36 18 9 3 1

2 2 2 2 2 3 3 1

3600 = 2 · 3 · 5

288 = 2 · 3

К (3600, 288) = 2 · 3 · 5 · 2