Лекция №9. Моделирование систем массового обслуживания (смо).

Многие экономические задачи связаны с СМО

, т.е. такими системами, в которых с одной стороны возникают массовые запросы, т.е. требования на выполнение каких-либо услуг, а с другой происходит удовлетворение этих запросов.

СМО включают в себя следующие элементы:

1. источник требований

2. входящий поток требований (очередь)

3. обслуживающие устройства, каналы обслуживания

4. выходящий поток требований

Исследованием таких систем занимается теория массового обслуживания (ТМО). Методами ТМО могут решаться следующие задачи в экономике:

1. в организации торговли эти методы позволяют определить оптимальное количество торговых точек данного профиля, численность продавцов, частоту завоза товаров и др.

2. по складам и базам задача ТМО сводиться к тому, чтобы установить оптимальное соотношение между числом поступающих на базу требований на обслуживание и числом обслуживающих устройств, при котором суммарные расходы на обслуживание и убытки от простоя транспорта были бы минимальными.

ТМО может найти применение и при расчете площади складских помещений, при этом складская площадь рассматривается как обслуживающее устройство, а прибытие транспортных средств под выгрузку как требование.

СМО могут быть классифицированы:

1. В зависимости от условий ожидания начала обслуживания:

• СМО с потерями, т.е. с отказами. В СМО с отказами требования, поступившие в момент, когда все обслуживающие каналы заняты, получают отказ и теряются.

• СМО с ожиданием – требование застав все обслуживающие каналы занятыми становиться в очередь и ожидает пока не освободиться один из обслуживающих каналов.

• СМО допускающие очередь,

• но с ограниченным сроком пребывания каждого требования в ней, называется системой с ограниченным временем ожидания.

2. По числу каналов обслуживания

• Одноканальные

• Многоканальные

3. По месту нахождения источника требований:

• Разомкнутые СМО – источник требований вне системы

• Замкнутые СМО - источник требований находиться в самой системе

Возможны и другие признаки классификации СМО.

Методы и модели ТМО можно разделить на:

• Аналитические

• Имитационные

Аналитические позволяют получить характеристики системы как некоторые функции параметров ее функционирования.

Имитационные основаны на моделировании процессов массового обслуживания на ЭВМ и применяются в том случае если невозможно применение аналитических моделей.

В настоящее время теоретически наиболее разработаны и удобны в практических приложениях методы решения таких задач массового обслуживания, в которых входящий поток требований является простейшим, т.е. Пуассоновским.

Для простого потока частота поступления требований в систему подчиняется закону Пуассона, т.е. вероятность поступления за время t равно k требований задается формулой

Простейший поток обладает тремя основными свойствами:

1. ординарность потока – практическая невозможность одновременного поступления двух и более требований .

2. стационарность потока – поток, для которого математическое ожидание (средняя величина) числа требований поступающих в систему в единицу времени не меняется во времени, т.о. вероятность поступления в систему определенного количества в течение заданного промежутка времени зависит от его величины и не зависит от начала его отсчета на оси времени.

3. отсутствие последствия – число требований поступивших в систему до момента t не определяет того, сколько требований поступит в систему за промежуток времени от t до .

Важная характеристика СМО – это время обслуживания требований в системе. Время обслуживания одного требования является, как правило, случайной величиной, следовательно, может быть описана законом распределения.

Наибольшее распространение получил экспоненциальный закон распределения времени. Функция распределения для этого закона имеет следующий вид:

Эта формула определяет то, что вероятность времени обслуживания не превышает некоторой величины t.

- параметр экспоненциального закона распределения, время обслуживания требований в системе.

, где - среднее время обслуживания

Общая постановка задачи:

Система имеет n обслуживающих каналов, каждый из которых может одновременно обслуживать только одно требование. В систему поступает простейший Пуассоновский поток требований с параметром , если в момент поступления очередного требования в системе на обслуживании уже находиться не меньше n требований, т.е. все каналы заняты, то это требование становиться в очередь, и ждет начала обслуживания. Время обслуживания каждого требования t – случайная величина , которая подчиняется экспоненциальному закону распределения с параметром .

СМО с ожиданием разбиваются на две группы:

• Замкнутые

• Разомкнутые

Разомкнутые СМО

Если питающий источник обладает бесконечным числом требований и находиться вне системы, то систему называют разомкнутой.

Расчет характеристик СМО различного вида может быть проведен на основе расчета вероятностей состояния СМО.

Формулы Эрланга:

Введем в рассмотрение параметр

Если , то очередь не может расти безгранично

- среднее число требований поступивших за единицу времени

- среднее время обслуживания одним каналом одного требования

- среднее число каналов обслуживания, которое необходимо иметь, чтобы обслужить в единицу времени все поступающие требования.

Число обслуживающих каналов должно быть больше среднего числа каналов необходимых для того чтобы за единицу времени обслужить все поступающие требования.

Важнейшие характеристики СМО:

1. Вероятность того, что все обслуживающие каналы свободны

2. Вероятность того, что занято ровно k обслуживающих каналов при условии, что общее число требований находящихся на обслуживании не превосходит числа обслуживающих каналов

3. Вероятность того, что в системе находятся k требований в случае, когда их число больше числа обслуживающих каналов

4. Вероятность того что все обслуживающие каналы заняты

5. Среднее время ожидания требованием начала обслуживания в системе

6. Средняя длина очереди

7. Среднее число свободных от обслуживания каналов

8. Коэффициент простоя канала

9.Среднее число занятых обслуживанием каналов

10. Коэффициент загрузки каналов

Замкнутые СМО

Источник требований находиться в системе. Поток поступающих требований ограничен, т.е. в системе обслуживания одновременно не может находиться больше m требований, где m – число обслуживаемых объектов.

Расчет характеристик замкнутых СМО:

1. Среднее число каналов

2. Вероятность того, что занято k обслуживающих каналов при условии, что число требований находящихся в системе не превосходит числа обслуживающих каналов системы

если

3. Вероятность того что в системе находиться k требований для случая когда их число больше числа обслуживающих каналов

если

4. Вероятность того, что все обслуживающие каналы свободны

Сумма всех вероятностей равна нулю

5. Среднее число требований ожидающих начало обслуживания (средняя длина очереди)

6. Коэффициент простоя обслуживаемого требования

7. Среднее число требований находящихся в обслуживающей системе (обслуживаемых и ожидающих обслуживания)

8. Среднее число свободных обслуживающих каналов

9. Коэффициент простоя обслуживающего канала

57